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1、,第三节 矩阵概念与运算,一、矩阵概念的引入,二、矩阵的定义,三、矩阵的加法,六、矩阵的其它运算,五、矩阵与矩阵相乘,四、数与矩阵相乘,第三节 矩阵概念与运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、,1. 线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,1. 线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个同型矩阵与矩阵相等的概念的行数时，两个矩阵才能相乘.的行数时，两个矩阵才能相乘.四城市间的航班图情况常用表格来表示:这个数表反映了四城市间交通联接情况.这个数表反映了四城市间交通联接情况.元素是复数的矩阵称为复矩阵.那末 称为对称阵.是一个 实矩
2、阵,不同阶数的零矩阵是不相等的.矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.2、数乘矩阵的运算规律,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个对线性方程组的线性方程,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,二、矩阵的定义,由 个数排成的
3、 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,二、矩阵的定义 由 个数称为 矩阵.简,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,主对角线,副对角线,简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如是一个 实矩阵,是一个,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,例如是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,不全为0,只有一列的矩阵称为列矩阵
4、(或列向量).,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零注,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的,例如,为同型矩阵.,2.两个矩阵 为同型矩阵,线性变换.,例1间的关系式线性变换.,系数矩阵,系数矩阵,、定义,三、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,、定义三、矩阵的加法设有两个 矩阵,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法
5、运算.,例如,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进例如,2、 矩阵加法的运算规律,2、 矩阵加法的运算规律,1、定义,四、数与矩阵相乘,1、定义四、数与矩阵相乘,由 个数同型矩阵与矩阵相等的概念元素是复数的矩阵称为复矩阵.矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律复数，记，称为 的共轭矩阵.当 为复矩阵时，用 表示 的共轭（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零元素是复数的矩阵称为复矩阵.四城市间的航班图情况常用表格来表示:同型矩阵与矩阵相等的概念定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.是一个 矩阵,四城市间的航班图情况常用
6、表格来表示:矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,由 个数2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起,、定义,并把此乘积记作,四、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中,、定义并把此乘积记作四、矩阵与矩阵相乘设,例,设,例2,例设例2,故,解,故解,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵例如不存在.,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）
7、;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;,注意矩阵不满足交换律，即：,例 设,则,注意矩阵不满足交换律，即：例 设则,但也有例外，比如设,则有,但也有例外，比如设则有,例3 计算下列乘积：,解,例3 计算下列乘积：解,解,=(,）,解=(）,解,例4,解例4,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,五、矩阵的其它运算,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的例、转,转置矩阵的运算性质,转置矩阵的运算性质,例5 已知,解法1,例5 已知解法1,解法2,解法2,2、方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构
8、成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,2、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,3、对称阵与伴随矩阵定义设 为 阶方阵，如果,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵 的伴随矩阵.,定义行列式 的各个元素的代数余子式 所性,4、共轭矩阵,故,同理可得,4、共轭矩阵定义当 为复矩阵时，,运算性质,（设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:,运算性质（设 为复矩阵， 为复数,且运算都是,七、小结,(1)矩阵的概念,七、小结(1)矩阵的概念,(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,(2) 特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩,七、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,七、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个（1）只有当两,
