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1、轨迹方程的求法,(1)建系: 建立直角坐标系;,(2)设点: 设所求动点P(x,y);,(4)化简: 化简方程;,(5)检验:检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。,(3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式;,求动点轨迹方程的基本步骤是什么?,复习回顾,题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,列出含动点P(x,y)的解析式.,一、直接法,【例题1】,2.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是_.,y2=8x(x0)或y=0(x0),1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨
2、迹,则此曲线的方程是_.,解:设动圆圆心为P(x,y).由题,得,即 -4x+y2=4|x|,得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0),【练习】,二、待定系数法,题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p 满足的等式,求得其值,再代入所设方程.,1、已知抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,且经过点P(-6,-3),则抛物线方程为_,【练习2】,三、定义法,分析题设几何条件,根据所学曲线的定义,判断轨迹是何种类型的曲线,直接求出该曲线的方程.,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点A(-2,0),B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)PA
3、B的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且点B在动圆P上(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆圆心).,【例题3】,【分析】(1)根据题意,先找出等价条件,再根据条件判定曲线类型,最后写出曲线方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6. (2)|PA|-|PB|=1. (3)P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1,即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离.,【解析】(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10, 即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P点的轨迹是椭圆, 且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b= , 因此其方程为 (y0).
4、 (2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r, 因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支, 且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,b= , 因此其方程为,(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线, 且开口向左,p=4. 方程为y2=-8x.,1.动点P到定点(-1,0)的距离与到点(1,0)距离之差为2, 则P点的轨迹方程是_.,2.,3.,【练习3】,【练习3】第3题,【练习3】第3题-变式,16,16,【练习3】第3题-变式,四、代入法(相关点法),当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的
5、运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系。 设所求动点 P坐标 (x,y),再设与P相关的已知点坐标为Q(x0,y0),找出P.Q之间的坐标关系,并表示为x0=f(x),y0=f(y),根据点Q的运动规律得出关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中,即得所求轨迹方程.,此法实际上是利用中间变量x0,y0求轨迹方程,【例题4】,【练习4】,五、参数法,如果轨迹动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,也没有相关点可用时,可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.,【例题5】,倾斜角为450的直线与椭圆 交于A
6、、B两点,求AB中点的轨迹方程。,【练习5】,1.过原点的直线与椭圆 相交,求弦中点的轨迹方程。,2. 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C:x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC,求点P的轨迹。,【练习5】,1.过原点的直线与椭圆 相交,求弦中点的轨迹方程。,2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C:x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC,求点P的轨迹。,解法一:利用韦达定理,解法二:点差法 连PO交CB于G.,设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则,作差,得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0,即x0+y0k=0,又k=,消去k,得(x+3)2+y2=9,故所求轨迹为(-3,0)为圆心,3为半径的圆.,?,【练习5】,总结,一、求动点的轨迹方程的常用方法,1.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要 “多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.2.注意“求轨迹”和“求轨迹方程”的区别.3.如何合理引参? 五类参数:点坐标,斜率,比例,角度,长度等,二、注意,