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1、专题3天坤倒悬轨迹方程的求法第一饼定义法回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断.熟记焦点的特征：1.关于坐标轴对称的点；2.标记为F的点；3.圆心；4.题上提到的定点等等.当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程.注意求出轨迹方程后，也要查漏补缺.【例1】(宝安期末) 切，和圆G相外切，22A.= 164 48【例2】(江西模拟)已知两圆G :(x-4)2+y2=i69, C2i(x + 4)2+=9,动圆在圆G内部且和圆G相内 则动圆圆心M的轨迹方程为()B.c = 1D.Ly2 . +=
2、 J64 48如图在正方体&GR中，尸是上底面AAGn内一动点，Q以垂直Af)于M,PM=PB,则点尸的轨迹为()A.线段B.椭圆一部分C.抛物线一部分D.双曲线一部分【例3】(宜昌期中)如图在圆U(x+3)2+y2=100内有一点A(3,0).Q为圆。上一点，AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,则点M的轨迹方程.【例4】(浙江二模)已知A(2,0),P是圆C:f+y2+4x-32=O上的动点，线段AP的垂直平分线与直线PC的交点为M,则当?运动时.点”的轨迹方程是.【例5】(三亚月考)已知圆M:。+1-+丁2=1,圆N:(x-l)2+y2=9,动圆尸与圆M外切并且与圆N内切，圆心尸的轨迹
3、为曲线C.(1)求C的方程；【例6】(陕西模拟)设一动圆过点心(1,0),且与定圆耳：(+1)2=6相切.(I)求动圆圆心C的轨迹方程；第二褂直译法根据题上条件，直接表示轨迹方程.一般步骤为(I)建系设点建立适当的坐标系，设曲线上任意动点坐标M为(X,y)；(2)等量关系根据条件列出与M有关的等式；(3)联立化简化成最简形式；(4)确定范围验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者曲线上是否有遗漏的点.要检查轨迹上是否所有的点是否都符合题干，常见的限制范围有：题干涉及三角形，轨迹里面不能构成三角形的点要去掉；题干有斜率关系，斜率不存在的时候要去掉；轨迹为双曲
4、线的时候，要检查是否左右两支上的点都符合题意.注意审题看清楚题干问的什么，问题为方程的时候，给出轨迹方程即可；但是问题为轨迹时，要对图形进行描述，例如动点轨迹为圆，要回答是谁为圆心，谁为半径的圆.【例7】(通化期末)在平面内两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,则点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.线段【例8】(湖北月考)已知点A(-5,0),8(5,0),直线AM,B何的交点为/,AM,的斜率之积为一则点M的轨迹方程是()D, = 1i5)25C.-=l(x5)2516【例9】已知点A(3,0)是圆V+9=25内的一个定点，以A为直角顶点作RlABC,且点3、C在
5、圆上，试求BC中点M的轨迹方程.【例10】(青羊期中)已知点P(2,2),圆UX2+y2-8y=o,过点P的动直线,与圆C交于4、B两点,线段的中点为M,O为坐标原点.(I)求M的轨迹方程：【例11】(龙凤月考)已知两点A(-5,0),(5,0),直线AM和直线BM相交于点M,且它们的斜率之积是一3.求动点M的轨迹方程；9【例12(南关期中)已知两点A(7,0),8(1,0)分别求满足下列条件的点M的轨迹方程：(1)M到两定点A、3的距离之和等于4；(2)直线AM、8M相交于点且它们的斜率之和是2.【例13】(1994全国)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:/+y?=,动点M到圆C的切线
6、长与IMQl的比等于常数20).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.第三稀相关点法若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点P（x,y）,用点P的坐标表示出来点Q,然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代人法）.例14（湄潭月考）动点M在圆（-4）2+丁=16上移动，求M与定点4（Y,8）连线的中点P的轨迹方程（）A.（x-3）2+（y-3）2=4B.+（y-3）2=4C.%2+（），-4）2=4D.x2+（y+4）2=4【例15】（武汉模拟）已知双曲线G:f_y2=/（a0）关于直线y=-2对称的曲线为G，若直线2x+3y
7、=6与C2相切，则实数”的值为（）A.拽BTC3D.这5555【例16（如皋市月考）将椭圆二+9=1上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，所得4曲线的方程为.【例17】（咸阳模拟）设点尸是圆V+y2=4上的任一点，定点。的坐标为（8,0）.当点尸在圆上运动时，则线段电）的中点M的轨迹方程是.2【例18】（秦州月考）动点M椭圆U+V=1上，过M作X轴的垂线，垂足为N,点P满足NP=NM.则点P的轨迹方程.【例19（海淀期中）（1）已知点A（-,，0）,点B是圆厂:（x-!+V=4上一动点，线段AB的垂22直平分线交班于点P,则动点P的轨迹方程为.（2）在平面直角坐标系中，A,B分别为工轴
8、和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则动圆圆心C的轨迹为.【例20（兰州期末）在圆V+y2=4上任取一点p,过点尸作X轴的垂线段电），。为垂足.当点尸在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率.【例21】（武汉期中）设点P是圆/+9=4上的任一点，定点。的坐标为（8,0）,若点M满足PM=2MD,当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.【例22】（茂名一模）在圆V+y2=4上任取一点p,过点尸作X轴的垂线段PD,。为垂足，当点尸在圆上运动时，点M在线段夕。上，且OM=IoP,点M的轨迹为曲线C.2（1）求曲线G的方程；【例23】（宝安期末）
9、己知圆/+/=4上一定点AQ,0）,8（1,1）为圆内一点，P,。为圆上的动点.（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若NP伙2=90。，求线段PQ中点的轨迹方程.第日年交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数.【例24（T8联考）已知椭圆C鸟+耳=130）与抛物线9=有公共的焦点，且抛物线的准Cb2线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程：（2）过椭圆。的右焦点作一条斜率为A/工0）的直线交椭圆于A,6两点，交），轴于点
10、,P为弦AB的中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q问是否存在一定点”，使得QH的长度为定值？若存在，则求出点H,若不存在，请说明理由.【例25】设mR,求两条直线4:x+7y+6=O与I2:（ni-2）x+3y+2m=0的交点的轨迹方程.【例26】已知A,8是椭圆+E=l的长轴的两端点，。为椭圆上一动点，尸关于X轴的对称点为Q,crb2求直线AP,8Q的交点的轨迹方程.【例27已知。:炉+丁=/,A（-,O）,8（a,O）,R、鸟是DO上关于X轴对称的两点，则直线AR与直线B鸟的交点尸的轨迹方程为（）A.X2+y2=2a1B.x2+y2=4a2C.x2-y2=4a2D.x2-y2=a2【例
11、28（宜宾模拟）如图，矩形ABCz）中，A6=8,BC=6,O为坐标原点，E,F,G,”分别是矩形四条边的中点，R,T在线段。尸，C尸上，OR=kOF,CT=kCF,直线7?与直线Gr相交于点M,则点”与椭圆G：三十二 1 16 9=1的位置关系是（A.点M在椭圆Cl内 C.点M在椭圆CI外）2【例29】（邢台二模）如图，A,8是双曲线三-的左右顶点，c,。是双曲线上关于X轴对称的两4点，直线AC与9的交点为E求点E的轨迹W的方程；22【例30】（汕头期末）如图，动圆G：f+y2=/2,ivy?,与椭圆C,:+与=1相交于A,B,C,ab。四点，点A，八2分别为G的左，右顶点.桶圆c2的一个焦
12、点为（20，O）,离心率为手.（1）求椭圆G的方程；（2）当,为何值时，矩形A48的面积取得最大值？并求出其最大面积；（3）求直线AAI与直线交点M的轨迹方程.【例31（岳麓模拟）如图，已知常数O,在矩形ABcD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点，点石、F、G分别在BC、CD、AA上移动，且空=C=型，P为GE与OF的交点、,建立如图坐标系，求?BCCDDA点的轨迹方程.第五饼参数方程法如果动点的坐标之间的关系比较复杂，第一步：将x,y用一个或几个参数来表示；第二步消去参数得轨迹方程；第三步，利用参数隐含的范围剔除不符合条件的点.另外，参数法中通常选变角、变斜率等为参数.【例32（兰州期
13、末）抛物线廿=41经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A.y2=x-lB.y2=2（l）C.y2=gD.y2=2x-【例33】（丰台一模）过抛物线V=8%的焦点厂的直线交抛物线于A、B两点,过原点。作OMJ垂足为则点M的轨迹方程是.【例34】（红岗期中）过抛物线=4的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是.【例35（珠海期末）抛物线炉=4）的焦点为，过点（0,-1）作直线L交抛物线A、8两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形E4/3,试求动点R的轨迹方程，并说明曲线的类型.22【例36（晋中一模）设M、N是椭圆净器=1上三个点，/、N在直线x=8上的射影分别为必、N.若
14、M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3,0）,A%NJ与NWVL面积之比为5,求MN中点K的轨迹方程.【例37】(龙凤月考)已知过原点的动直线/与圆G22+y2-6+5=0相交于不同的两点a,B.求线段AB的中点M的轨迹C的方程；【例38】(咸阳模拟)已知圆C:/+;/=(I)直线/过点尸(1,2),且与圆C交于A、B两点,若IABI=2J,求直线/的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线?，设机与X轴的交点为N,若向量OQ=OM+ON,求动点。的轨迹方程.【例39】(湛江模拟)如图，已知定点A(l,0),点8是定直线/=T上的动点，NBQA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程.【
15、例40(皇姑期末)已知抛物线C:丁=2PX(P0)以X=-2为准线方程，过X轴上一定点P(3,0)作直线/与抛物线交于不同的两点A、B.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求弦AB的中点M的轨迹方程.整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
