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1、拉格朗日中值定理及其应用,一、拉格朗日中值定理,定理1. 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续；,(2) 在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.,证 令,由于f(x)在a,b上连续，因此 在a,b上连续.,由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导.,又由于,因此 在a,b上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即,从而有,几何解释:,如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x
2、)也满足拉格朗日中值定理，即,因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,其中 为之间的点.也可以记为,或,推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.,事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得,由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：,位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.,推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有,其中C为某常数.,由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.,f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得,例1 函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =( ).,由拉格朗日定理可知，必定存在,由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(1)=4,而,二、拉格朗日中值定理的应用,可解得 ，因此本例应选D.,例2 当x0时,试证不等式,分析,取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.,则f(t)=ln(1+t) 在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.,说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是唯一的.,即,进而知,谢谢大家,
