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1、数学归纳法1,学习目标：,1.通过学习过的归纳推理及几个例子，弄明白数学归纳法的证明原理（重点）,2.通过几个证明问题，梳理清楚数学归纳法的一般实施步骤，并会证明等式与不等式恒成立问题（难点）,1,5,3,7,9,11,15,你猜、你猜、你猜猜猜,归纳推理：由部分到整体的推理，结论未必正确,可从简单情形出发,观察、归纳、猜想,(不完全归纳法),费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：,形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数,100年后,费马(1601-1665)法国伟大的业余数学家。,欧拉(17071783)，瑞士数学家及自然科学家。,费马您错了!,不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但
2、不能保证猜想正确.,在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。,思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通过一一验证的办法来加以证明呢？,思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、
3、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。,多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：,（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （传递）,条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。,思考：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？,（1）第一块骨牌倒下；（基础）,这种一种严格的证明方法数学归纳法.,数学归纳法的概念：,定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0
4、 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ；,2.然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做_。,数学归纳法,注意：,1.数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题,2.数学归纳法的一般步骤,(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立,(2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立,（基础）,（传递）,3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法，但必须用到假设,思考5：试问等式2+4+6+2nn2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解:设nk时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+
5、4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nN*都成立，为时尚早,下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么? (1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即那么n=k+1时, 左边 =右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切正整数,命题均正确.,思考6:,证明：当n=1时，左边,右边,假设n
6、=k时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,题型一、利用数学归纳法证明等式,应用举例,例1、利用数学归纳法证明等式,证明：（1）当n=1时，左边121，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等
7、式对任何nN都成立。,当堂检测1：用数学归纳法证明,证明：（1）n=1时,左边=1=右边,（2）假设n=k时，结论成立，即,当n=k+1时,=右边,所以，n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知,题型二、利用数学归纳法证明不等式,例2.用数学归纳法证明:,证明：（1）n=2时,左边=,（2）假设n=k时，结论成立，即,当n=k+1时,左边=,所以，n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知,当堂检测2：证明不等式:,证明：（1）n=1时,左边=12=右边,（2）假设n=k时，结论成立，即,当n=k+1时,所以，n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知,小结与复习,谈谈你本节课的收获,1.用数学归纳法证明：,2.,作业,
