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1、数学归纳法及其应用举例,安徽师大附中 吴中才,教材分析,学生学情,教学目标,方法手段,教学程序,板书设计,数学归纳法及其应用举例是人教社全 日制普通高级中学教科书数学第三册(选修II)第二章第一节的内容，本节共3课时，这是第1课时,主要内容是数学归纳法理解与简单应用,在高一，学生已经学了用不完全归纳 法推导等差数列、等比数列的通项公式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展.纵观高中数学,数学归纳法是一个重难点内容,也是一种重要的数学方法,可以使学生学会一种研究数学的科学方法,数学归纳法及其应用举例,教材分析,教学内容,地位作用,重点难点,重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 难点：数学
2、归纳法中递推思想的理解,我所在的学校是省属重点中学，所教 的班级是平行班，学生基础还不错.我按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和数学实例以烘托重点，突破难点,学生经过中学五年的数学学习，已具 有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，并逐步形成了辨证思维体系但学生自主探究问题的能力普遍还不够理想,学生对等差（比）数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的,数学归纳法及其应用举例,学生学情,知识准备,能力储备,学生情况,努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积 极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣
3、和课堂效率让学生经历知识的构建过程,体会类比的数学思想,让学生领悟数学思想和辩证唯 物主义观点；体会研究数学问题的一种方法,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,了解归纳法,理解数学归纳的原理与实 质掌握两个步骤；会证明简单的与自然数有关的命题培养学生观察,分析,思考,论证的能力,发展抽象思维能力和创新能力培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力,数学归纳法及其应用举例,教学目标,知识与技能,过程与方法,情感态度价值观,借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 材,促进学生对“递推原理”的理解，为学生掌握数学归纳法提供形象化的参照，为教学
4、难点突破提供感性基础,采用类比启发探究式教学方法进行教 学.数学归纳法的教学立足于学生的逻辑思维能力和推理能力,在旧知识体系的基础上构建新的知识锁链教学中注重观察与思考,比较与类比,分析与综合,概括与特殊化等知识发生发展与形成的思维过程,在教学过程中，我不仅要传授学生课 本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标,数学归纳法及其应用举例,方法手段,教学方法,学法指导,教学手段,数学归纳法及其应用举例,教学程序,第一阶段:输入阶段,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,第三阶段:操作阶段,创造学习情境，提供学习内容.,新旧知
5、识作用，搭建新知结构.,巩固认知结构,充实认知过程.,教学设计三条线:1.知识线;2.思想方法线;3.逻辑思维线.,第一阶段:输入阶段,创设问题情境，启动学生思维,设计意图:不完全归纳法得到的结论不一定正确,但也可能正确;完全归纳法得到的结论虽然正确,但比较费事.这两个引例为学生创设一个问题情境,加深学生对归纳法的认识,同时也为本节课的后续教学开启了学生的思维,第一阶段:输入阶段,回顾数学旧知，追溯归纳意识,设计意图:从生活走向数学，我与学生一起回顾以前学过的数学知识心理学强调在已有认知结构基础上展开学习与教学，因此在这里我安排了一个不完全归纳法的实例（数列通项）与一个完全归纳法的实例（圆周角
6、定理），进一步加强归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳,第一阶段:输入阶段,借助数学史料,促使学生思辨,问题1 已知=(nN*),(1)分别求,.(2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?,问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当nN时，一定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 4 294 967 2976 700 417641，从而否定了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立,问题3,当nN时，是否都为质数？验证：f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3
7、）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 601 但是 f（40）1 681，是合数,第一阶段:输入阶段,借助数学史料,促使学生思辨,设计意图:在生活引例与学过的数学知识基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都可能如此那么，有没有更好的方法呢？这里，我努力培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力概括能力是思维能力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的心理学认为“迁移就是概括
8、”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,搜索生活实例，激发学习兴趣,多米诺成功的关键有两点：(1)第一张牌被推倒；(2)假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下于是,我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下,搜索：再举几则生活事例：推倒自行车,早操排队对齐等,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,类比数学问题,激起思维浪花,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,引导学生概括,形成科学方法,第三阶段:操作阶段,蕴含猜想证明,培养研究意识,设计意图:我首先给出一道要求学生先猜想后证明的例题，这是一道灵活的训练题，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能
9、教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力,第三阶段:操作阶段,基础反馈练习,巩固方法应用,设计意图:这两道题是针对本节课的内容呈现了一组“比较组织者”.例1与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习3恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充,第三阶段:操作阶段,师生共同小结,完成概括提升,(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不
10、一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想,第三阶段:操作阶段,布置课后作业,巩固延伸铺垫,(1)课本第64页练习第1,2题；第67页习题2.1第2题(2)(辨析与思考)用数学归纳法证明 1+2+22+23+2n=2n1(n N*)时,其中第二步采用下面的证法：设nk时等式成立,即1+2+22+23+2k1=2k1,则当nk1时,即nk1时等式也成立,设计意图:练习第1、2题分别是特殊等差、等比数列前n项和公式的证明,习题第2题则是其一般情形.这种对比练习不仅能巩固数学归纳法的证题步骤,还能让学生体会一般与特殊的关系,渗透辩证唯物主义思想.思考题则起着承上启下的作用,它既是对本节课内容的反思与深思,也是对下节课内容的铺垫与伏笔,数学归纳法及其应用举例,板书设计,2.1 数学归纳法及其应用举例 问题1 例题(猜想,证明过程的板书)问题2 问题3 练习1 练习2 数学归纳法定义(练习请两位同学上黑板板演)证明步骤:(1)(2),我的说课到此结束,欢迎您批评指正!,2006年11月2日,
