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1、4.1 特征函数 4.2 大数定律 4.3 随机变量序列的两种收敛性 4.4 中心极限定理,第四章 大数定律与中心极限定理,4.4 中心极限定理,讨论独立随机变量和的极限分布, 并指出极限分布为正态分布.,4.4.1 独立随机变量和,设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为,4.4.2 独立同分布下的中心极限定理,定理4.4.1 林德贝格勒维中心极限定理,设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 20，则当 n 充分大时，有,应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析,例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的
2、净重大于20500克的概率?,解:,设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心极限定理得，所求概率为：,= 0.0002,故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小),例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为,求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.,解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，,且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故,= 0.99979,4.4.3 二项分布的正态近似,定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理
3、,设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有,是林德贝格勒维中心极限定理的特例.,二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：,注 意 点 (1),中心极限定理的应用有三大类：,注 意 点 (2),ii) 已知 n 和概率，求y ；,iii) 已知 y 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 y，求概率；,一、给定 n 和 y，求概率,例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.,又
4、记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、给定 n 和概率，求 y,例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?,解：用,设供电量为y, 则从,Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.,中解得,三、给定 y 和概率，求 n,例4.4.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？,解：用,根据题意,Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则,从中解得,Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。,又由,可解得,n = 271,例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.,解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则,X b(500, 0.01),0.17635,(2) 应用正态逼近:,P(X=5) = P(4.5 X 5.5),= 0.1742,
