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1、1.3 空间几何体的表面积与体积,石河子二中2019届数学备课组,几何体的结构特征大致有以下几类：,多面体,旋转体,柱体,锥体,台体,球,问题:1.长方体的展开图与其表面积有何关系？,水立方的长，宽，高分别为177m 177m30m试求它的表面积,思考1：,(1)矩形面积公式： _。(2)三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：_。(3)圆面积面积公式：_。(4)圆周长公式： _。(5)扇形面积公式： _。(6)梯形面积公式： _。(7)扇环面积公式： _。,知识回顾,棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形.,棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形.,探究：,棱台的侧面展开图是由梯形组
2、成的平面图形。,这样， 我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。,探究：,例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。,因为SB=a，,所以：,交BC于点D,解：先求 的面积，过点S作,典型例题,因此，四面体S-ABC 的表面积：,例2.下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积,12,解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形,圆柱的侧面展开图是一个矩形：,如果圆柱的底面半径为 ，母线为 ，那么圆柱的底面积为 ，侧面积为 。因此圆
3、柱的表面积为,圆锥的侧面展开图是一个扇形：,如果圆柱的底面半径为 ，母线为 ，那么它的表面积为,圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即,1.看图回答问题,做一做,3.以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为_.,_ .,2.一个圆柱形锅炉的底面半径为 ,侧面展开图为正方形，则它的表面积为,21,4.已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，这个圆锥的底面直径_.,例2 如下图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米
4、用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆( 取3.14,结果精确到1毫升),分析 (1)花盆外壁的面积=花盆的侧 面积+底面积-底面圆孔面积,23,解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积,涂100个花盆需油漆:,(毫升),答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.,1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）,A .,B .,C .,D .,A,练习,2 . 若一个棱台的上、下底分别是边长为1cm和3cm的正方形,侧棱长为2cm,则棱台的侧面积为( ),D,3. 一个直角三角形的直角边分别为12与5,以较长的直角边为轴,旋转而成
5、的圆锥的侧面积为( ),C,7 . 已知圆锥表面积为 ,且侧面展开图形为扇形,扇形的圆心角为 ,则圆锥底面半径为_.,1,5 . 已知圆锥的表面积为 ,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径_,4 .五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别是8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积_.,6 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为_度,180,780,练习,5. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。它的展开图的形状为_。该图形的弧长为_cm，半径为_cm，所以圆锥的侧面积为_cm2。,扇形,6,3,4,扇形
6、面积公式,1.3 空间几何体的体积,石河子二中2019届数学备课组,熟练掌握球的体积、表面积公式：,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.,课堂练习,8倍,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来 的倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比 是。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比 是。,练习一：,例1.钢球直径是5cm,求它的体积.,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),例题讲解
7、,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,例题讲解,(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体,侧棱长为5cm,例题讲解,例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六
8、个面都相切，则有S=。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例2：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,例题讲解,例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,1.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,练习一,课堂练习,4.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球
9、的表面积是_.,2.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_.,3.若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 , 则两球的直径之差为_.,练习二,课堂练习,球的体积、表面积公式的推导,直棱柱,：侧棱和底面垂直的棱柱,正棱锥,：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。,正棱台,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台,球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。,球(即球体):球面所围成的几何体。,它包括球面和球面所包围的空间。,半径是R的球的体积：,推导方法：,分割,求近似和,化为准确和,复习
10、回顾,第一步：分割,O,球面被分割成n个网格， 表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,设“小锥体”的体积为：,2、球的表面积,O,第二步：求近似和,O,由第一步得：,第三步：转化为球的表面积,如果网格分的越细,则:,由 得:,小结,1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法.,2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点.,3.二个公式,柱体、锥体、台体的表面积,小结：,圆台,圆柱,圆锥,一、基本知识,二、思想方法,由特殊到一般,类比、归纳、猜想,转化的思想,学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法,3.球的体积,我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是,当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式,即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积,球的体积,分割,求近似和,化为准确和,问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.,O,R,O,A,球的体积,球的体积,球的体积,
