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1、5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,5-2 结构位移计算的一般公式,5-3 荷载作用下的位移计算,5-4 荷载作用下的位移计算举例,5-5 图乘法,5-6 温度作用时的位移计算,5-8 变形体的虚功原理,5-9 互等定理,5-10 小结,第5章 虚功原理与结构位移计算,5-7 用求解器进行位移计算(略),5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,位移产生的主要原因（1）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降和制造误差,刚体体系位移，无应变,变形体体系位移，有应变,虚力原理虚设力系求位移,图(a)中的静定梁，支座A向上移动已知距离c1，拟求B点的竖向位移。,虚设力系如图(b),虚功方程为,
2、求得,支座移动时静定结构的位移计算,图(a)中支座A有给定的竖向位移cA，拟求：（1）C点的竖向位移C （2）杆CD的转角,（1）求C，虚设力系如图(a),虚功方程为,求得,（2）求，虚设力系如图(b),虚功方程为,求得,设支座K有给定位移cK，静定结构的位移计算步骤为,（1）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出相应的（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程（3）由虚功方程解出拟求位移,若为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。,1. 局部变形时静定结构的位移计算举例,例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角。试求点的竖向位移。,解：实际位移状态可改用图(b
3、)表示,虚设力系如图(c),虚功方程为,解得,5-2 结构位移计算的一般公式,例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移，试求A点与杆轴成 角的斜向位移分量。,解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。,虚设力系如图(c),虚功方程为,解得,2. 局部变形时的位移公式,图(a)所示悬臂梁B点附近的微段有局部变形，其他部分没有变形。,微段ds两端截面的相对位移如图(b),虚设力系如图(c),结构位移计算的一般公式 根据叠加原理,如果结构有多个杆件,在支座处还有给定位移cK,式中：弯曲变形对位移的影响 轴向变形对位移的影响 剪切变形对位移的影响 支座位移cK对位移的影响,荷载作用下弹性位移的一
4、般公式为,梁和刚架,桁架,桁梁混合结构,拱,5-3 荷载作用下的位移计算,例5-3 试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。,实际荷载作用下的内力如图(a)虚设单位荷载作用下的内力如图(b),总位移,设=1/3，E/G=8/3 I/A=h2/12,5-4 荷载作用下的位移计算举例,例5-4 图(a)所示为一屋架，图 (b)是屋架的计 算简图。试求顶点C的竖向位移。,解（1）求FNP如图(c),（2）求 如图(d),（3）求C,代入数据求得,例5-5 图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧 AB的圆心角为，半径为R。试求B点的
5、竖向位移。,解：虚设荷载如图(b),图(a)中,图(b)中,设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12,例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角。,解：虚设力系如图(b),实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c),图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图，截面抗弯刚度EI为一常数。,图中AB杆件为直杆，Mi图是直线图，则,可得,注意：y0应取自直线图中； 面积A与标距y0在杆的同一边时，乘积A y0取正号。,5-5 图乘法,例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角B。,解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 如图(b),例5-8 试求
6、图(a)所示悬臂梁中点C的挠度C。,解：MP图和 如图(a)、 (b)所示,图中三角形面积为,MP图中相应的标距为,如果计算MP图面积及 图上相应的标矩，如何考虑？,求得,例5-9 试求图(a)所示刚架结点B的水平位移。各杆截面为矩形 bh，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。,解：作MP图和 图，如图(b)、 (c)所示,MP图的面积分为A1、A2、A3三块计算,图上相应的标矩为,求得,例5-10 试分析例5-9所示刚架轴向变形对B点水平位移的影响。,解：作FNP图和 图如图(a)、 (b)所示,由例5-9求得,可得,h/l=1/10时,如图(a)：设杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上 升t2，沿杆
7、件截面厚度为线性分布， 为材料的线膨胀系数。,上下边缘的温差,由图(b)，杆件的轴线温度,得,若t0、t、h沿每一杆长为常数则,5-6 温度作用时的位移计算,例5-11 试求图(a)所示刚架C点的竖向位移C。各杆截面为矩形， 截面高度h=60cm，=0.00001-1。,解：虚设力系作 图和 图，如图(b)、 (c),得,则,设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内力虚功Wi。即,力系平衡条件,图(a)所示直杆处于平衡状态图(b)所示微段隔离体应满足平衡条件,5-8 变形体的虚功原
8、理,变形协调条件,微段dx的三个应变分量如图(b)，可得,直杆AB的位移和变形如图(a)，三个位移分量：截面的角位移、截面形心的轴向位移u和横向位移w。杆轴切线的角位移为,轴线的线应变截面平均切应变,外力在位移上所作的虚功为,微段dx两侧面的应力合力在变形上作的内虚功为,整个变形体的内虚功为,变形体虚功方程为,变形体虚功方程,变形体虚功方程的两种应用,（1）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为,若杆件上有集中荷载作用，则变形体虚功方程为,加*号的量表示虚设量,（2）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为,单位支座位移法,结构处于某个平衡受力状态，已知荷载FP和各杆内力M、F
9、N、FQ，拟求某个支座反力（或约束反力）FR1。,虚设与FR1相应的单位支座位移 代入虚位移方程得,若为静定结构，当虚设单位支座位移时，虚设应变为零，则,应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。 结构变形很小，不影响力的作用。,1. 功的互等定理,状态I的力系在状态的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为,状态 的力系在状态I的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为,显然,即,5-9 互等定理,2. 位移互等定理,如图(a)、(b)，由功的互等定理,令,或,称为位移影响系数,可得,即,3. 反力互等定理,如图(a)、(b)，由功的互等定理,令,或,称为反力影响系数,可得,即,4. 位移反力互等定理,如图(a)、(b)，由功的互等定理,即,令,或,可得,即,1. 位移计算的一般公式及灵活应用,要虚设力系虚力法：以单位荷载为标志单位荷载法,：拟求的广义位移，FP=1：与共轭的单位广义荷载。,2. 变形体虚功方程的两类形式,虚设力系虚力方程：求位移虚设位移和变形形态虚位移方程：求支座反力或约束反力,3. 互等定理及其应用,虚功互等定理：W12=W21 位移互等定理： 12=21反力互等定理：r12=r21 位移反力互等定理：,5-10 小 结,
