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1、3 粉体静力学,3.1 莫尔应力圆3.2 莫尔库仑定律3.3 壁面最大主应力方向3.4 朗肯应力状态3.5 粉体应力计算,一、粉体的应力规定,3.1 莫尔应力圆,粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的剪应力达到其抗剪强度。,粉体主要承受压缩作用，粉体的正应力规定压应力为正，拉应力为负；切应力是逆时针为正，顺为负。,二、莫尔应力圆,1、为什么叫莫尔圆 ( Mohrs Circle ) ？首先由Otto Mohr（1835-1918）提出（ 一位工程师）,来由 一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？,莫尔圆是一种作图法将粉体层内任意点的正应力和剪应力的公式整理后可得一圆的方程。该圆
2、即为莫尔应力圆。,Christian Otto Mohr (1835-1918),Mohr 1835 年生于德国， 16 岁入 Hannover 技术学院学习。毕业后，在铁路工作，作为结构工程师，曾设计了不少一流的钢桁架结构和德国一些最著名的桥梁。他是 19 世纪欧洲最杰出的土木工程师之一。与此同时， Mohr也一直在进行力学和材料强度方面的理论研究工作。 1873 年 , Mohr到德累斯顿 (Dresden) 技术学院任教，直到1900 年他 65 岁时。退休后 , Mohr留在德累斯顿继续从事科学研究工作直至 1918 年去世。 Mohr 提出了用应力圆表示一点应力的方法（所以应力圆也被
3、成为 Mohr 圆），并将其扩展到三维问题。应用应力圆，他提出了第一强度理论。 Mohr 对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移等。,2、研究内容,研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。1）主应力与主应力面2）主应力相互正交3）任意一面上：正应力和剪应力一点应力状态的表示方法：？,任意斜面上的应力 在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成a角，斜面上作用法向应力s和剪应力t。现在求s、t与s1、s3之间的关系。 取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合力为零。,用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由前两式平方并相加，整理得,莫尔应力圆圆周上
4、的任意点，都代表着单元粉体中相应面上的应力状态。,在坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个圆，圆心落在轴上，与坐标原点的距离为(1+ 3)/2,半径为(1- 3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。,3.2 莫尔-库仑定律,莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪切破坏，在破坏面上f=f()，由此函数关系所定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑总结出粉体（土）的抗剪强度规律。,库仑定律是莫尔强度理论的特例。此时莫尔破坏包线为一直线。以库仑定律表示莫尔破坏包络线的理论称莫尔库仑破坏定律。,法国军事工程师在摩擦、电磁方面奠基性的贡献1773年发表土压力方面论文，成为经典理论。,库仑（C.
5、A. Coulomb）(1736-1806),3.2 莫尔-库仑定律,库仑定律,对于非粘性粉体 =tgi 对于粘性粉体 = c +tgi,一、粉体的抗剪强度规律,粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在（，）坐标中是直线：IYF 莫尔-库仑定律：粉体内任一点的莫尔应力圆在IYF的下方时，粉体将处于静止状态；粉体内某一点的莫尔应力圆与IYF相切时，粉体处于临界流动或流动状态,库仑粉体：符合库仑定律的粉体,二 莫尔-库仑定律,根据这一准则，当粉体处于极限平衡状态即应理解为破坏状态，此时的莫尔应力圆即称为极限应力圆或破坏应力圆，相应的一对平面即称为剪切破坏面（简称剪破面）。,-线为直线a：处于静
6、止状态-线为直线b：临界流动状态/流动状态-线为直线c：不会出现的状态,莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系：1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方；2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切；3.抗剪强度线与莫尔圆相割。,3.2 莫尔-库仑定律, 莫尔圆位于破坏包络线IYF的下方 ，说明该点在任何平面上的剪应力都小于极限剪切应力 ，因此不会发生剪切破坏； 莫尔圆与破坏包络线IYF相切 ，切点为 A ，说明在 A 点所代表的平面上，剪应力正好等于极限剪切应力 ，该点就处于极限平衡状态。圆称为极限应力圆；,破坏包络线IYF是摩尔圆的一条割线，这种情况是不存在的，因为该点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。,粉
7、体的极限平衡条件,A,B,D,O,f极限平衡条件莫尔库仑破坏准则,极限应力圆破坏应力圆,剪切破坏面,3.2 莫尔-库仑定律,临界流动状态或流动状态时，两个滑移面：S和S滑移面夹角90-i滑移面与最小主应力面夹角45 -i/2，与最大主应力面夹角45 +i/2莫尔圆半径：p*sin,3.2 莫尔-库仑定律,最大主应力,最小主应力,3.2 莫尔-库仑定律,粉体处于临界流动状态或流动状态时，任意点的应力,3.2 莫尔-库仑定律,Molerus 类粉体：初始抗剪强度为零的粉体Molerus 类粉体：初始抗剪强度不为零，但与 预压缩应力无关的粉体Molerus 类粉体：初始抗剪强度不为零，且与 预压缩应
8、力有关的粉体，内 摩擦角也与预应力有关,总 结,粉体的抗剪强度随该面上的正应力的大小而变粉体的强度破坏是由于粉体中某点的剪应力达到粉体的抗剪强度所致(f)；破裂面不发生在最大剪应力作用面(a =45，该面上的抗剪强度最大)上，而是在应力圆与强度包线相切点所代表的截面上，即与大主应力面成交角的斜面上。如果同一种土有几个试样在不同的大、小主应力组合下受剪破坏，可得几个莫尔极限应力圆，这些应力圆的公切线就是其强度包线。前已指出，库仑强度包络线可视为一直线。根据莫尔库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。,【例题】某砂土地基的=30，C=0，若在均布条形荷载p作用下，计算土中某点1=100kPa，3=3
9、0kPa，问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）,【解】用四种方法计算。,3、c1：这表明：在3=30kPa的条件下，该点如处于极限平衡，则最大主应力为90kPa。故可判断该点已破坏。,3.3 壁面最大主应力方向,库仑粉体：,粉体在壁面处的滑移条件在（，）坐标中也是直线：WYF；壁面粗糙时， WYF与IYF接近重合。,若壁面应力状态对应A点：,3.3 壁面最大主应力方向,若壁面应力状态对应B点：,若壁面应力状态对应C点：,3.3 壁面最大主应力方向,若壁面应力状态对应D点：,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,朗肯主动应力状态,朗肯被动应力状态,3.4 朗肯(Rankine,
10、1957)应力状态,被动土压,主动土压,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,朗肯主动应力状态，根据莫尔库仑定律为,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,P49(3-17),P49(3-16),3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,c=0,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,KA朗肯主动应力系数，简称主动态系数,Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时，最小主应力与最大主应力之比,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,朗肯被动应力状态，根据莫尔库仑定律为,c=0,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,Kp朗肯被
11、动应力系数，简称被动态系数,Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时，最大主应力与最小主应力之比。被动态应力P与主动态应力A之比等于,3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态,朗肯主动应力状态,朗肯被动应力状态,3.5 粉体应力计算,3.5.1 詹森（Janssen)公式液体容器： 同一水平面压力相等，帕斯卡定理和连通器原理成立粉体容器：完全不同。假设：（1）容器内粉体层处于极限应力状态（2）同一水平面的铅垂压力相等，水平和垂直方向的应力是主应力（3）物性和填充状态均一，内摩擦因数均一,3.5 粉体应力计算,3.5.1 詹森（Janssen)公式,Molerus I 类粉体,3
12、.5.1 詹森（Janssen)公式,rr和zz是主应力，根据朗肯应力关系,K是Janssen应力常数，当rr和zz确是主应力时Janssen应力常数就是朗肯应力常数,积分,3.5.1 詹森（Janssen)公式,求导,3.5.1 詹森（Janssen)公式,边界条件:,3.5.1 筒体应力分析,如果z=0的面为自由表面,詹森（Janssen)公式,3.5.1 筒体应力分析,非圆形截面容器，用当量半径De代替D,3.5.1 筒体应力分析,当z时，应力趋于常数值,应力达渐近值时，粉体重量由切应力承担,适用性不受Janssen假设的限制,Molerus I类粉体，适用性不受Janssen假设的限制
13、,3.5.1 筒体应力分析,当粉体填充到一定深度时，应力趋于渐近值,粉体压力饱和现象,高度达到6倍的料仓直径时，应力达到最大应力的95%,3.5.1 筒体应力分析,3.5.1 筒体应力分析,实验测试结果表明：大型筒仓的静压分布同詹森公式理论值基本一致，但卸载时压力有显著的脉动，离筒仓下部约1/3高度处，壁面受到冲击、反复载荷的作用，其最大压力可达到静压力的34倍。这一动态超压现象，使得大型筒仓产生变形或破坏，设计时要加以考虑。Rimbert假设K 不是常数，得出了双曲线型应力分布，也用于筒仓的设计中。,3.5.2 锥体应力分析,a,3.5.2 锥体应力分析,3.5.2 锥体应力分析,当m=1时
14、，,当m1时，,3.5.2 锥体应力分析,边界条件:,当m1时，,当m1时，,绝大多数粉体在锥角较小的情况下，特别是在朗肯被动态时，m 值远大于1，此时应力存在渐近值且等于,3.5.2 锥体应力分析,在锥体顶角附近应力与距顶角的距离成正比,3.5.3 Walters转换应力,3.5.3 Walters转换应力,Walters提出当粉体从上向下流动时，粉体的应力状态从朗肯主动态转变为朗肯被动态。设转换面的高度为H,主动态部分的应力,3.5.3 Walters转换应力,主动态部分的应力,转换面(z=H )的应力,3.5.3 Walters转换应力,转换面(z=H )的应力,被动态的初始应力,被动态部分的应力,3.5.3 Walters转换应力,y是从转换面开始的高度,3.5.3 Walters转换应力,被动态部分的应力,3.5.3 Walters转换应力,3.5.3 Walters转换应力,随内摩擦角的增加而迅速增加,3.5.4 料仓应力分析,排料时转换应力发生在柱体与锥体的交接处，则柱体部分为朗肯主动态，锥体部分为朗肯被动态,锥体部分的应力分布,3.5.4 料仓应力分析,锥体部分的应力分布,3.5.4 料仓应力分析,例3-3,3.5.4 料仓应力分析,例3-3,186.7,
