第2章 守恒定律ppt课件.ppt

《第2章 守恒定律ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章 守恒定律ppt课件.ppt（125页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、1,第二章 守恒定律,2.1 动量与冲量 质点的动量定理 （牛顿第二定律积分形式一：动量定理）,微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。,1. 动量定理（单个质点）,重写牛顿第二定律的微分形式,考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分,航天飞机,动量定理,左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。,于是得到积分形式,这就是动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。,动量定理的几点说明：,(1)冲量的方向：,冲

2、量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。,(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程,(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,动量定理,打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。,(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。,(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。,(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。,动量定理,平均冲力,例：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以 同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力

3、？,解：篮球到达地面的速率,（m/s）,（N）,1. 内力和外力,2.2 质点系的动量定理,内力,外力,2. 质心系的动量定理,对于两个质点：,两式相加：,=常矢量,如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。,条件,定律,2.3 动量守恒定律,直角坐标系下的分量形式,=常量,=常量,=常量,火箭飞行,前苏联东方1号火箭,长征三号运载火箭,火箭发射,设在某一瞬时 ，火箭的质量为 ，速度为 ，在其后 到 时间内，火箭喷出了质量为 的气体， 是质量 在 时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速度为 ，使火箭的速度增加了 。,喷气前总动量为：,喷气后火箭的动量

4、为：,所喷出燃气的动量为：,M,t时刻,t+dt时刻,M-dm,由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律,设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量,设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达到的速度是,多级火箭,例题 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。,解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。,它的

5、水平分量为,于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有,经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，按速度变换定理为,由此得炮车的反冲速度为,解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即,例题 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。,所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方

6、向相反，如图所示。因为v1和v2相互垂直所以,由于 和 所成角由下式决定：,即 和 及 都成 且三者都在同一平面内,由于 ,所以 的大小为,1. 角动量,质点对圆心的角动量,2.4 质点的角动量定理和角动量守恒定律,行星在公转轨道上的角动量,定义：质点对点的角动量为（翘翘板？）,角动量大小 （面积）,角动量方向,（1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。,讨 论,（2） 方向的确定,（3）做圆周运动时，由于 ，质点对圆心的角动量大小为,质点对圆心O的角动量为恒量,2. 角动量守恒定律,表明小球对圆心的角动量保持不变,实验中发现,行星绕太阳的运动,表明行星在运动过程中，对太

7、阳的角动量保持不变。,质点的角动量定理：如果作用在质点上的外力对某给定点 的力矩 为零，则质点对 点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。,角动量守恒定律,1. 功的概念,功是表示力对空间累积效应的物理量。,物体在力 的作用下发生一无限小的位移 (元位移)时,此力对它做的功定义为:力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘积。,其中为力与位移的夹角。可以把上式写成两个矢量的标积,功是标量，没有方向，但有正负。,2.5 功 动能定理,当00，力对物体做正功。 当=/2时， dA=0，力对物体不做功。 当/2时，dA0，力对物体做负功。,功率：力在单位时间内做的功，用P 表示,功率是反

8、映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。,在国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率的单位是J/s ，叫做W(瓦)。,动能定理,2. 能量,能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。,到十九世纪，能量概念才逐步由力的概念中分离出来。实际上，只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才认识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱因斯坦建立了狭义相对论，得到了“质能关系”，进一步揭示能量和质量的相当性，对于能量的认识才更深入了一步。,与机械运动直接相关的能量是机械能。,动能定理,3. 牛顿第二定

9、律的又一积分形式,(1)变力的功,b,a,物体在变力的作用下从a运动到b。,怎样计算这个力的功呢？,采用微元分割法,动能定理,第i 段近似功：,总功近似：,第2段近似功：,第1段近似功：,动能定理,当 时,可用 表示,称为元位移; 用 表示,称为元功。,微分形式：,积分形式：,总功精确值：,在数学形式上，力的功等于力 沿路径L从a到b的线积分。,动能定理,例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数 m ，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。,解：小物体对环带压力,走一段小位移 D s 所做的功,转一周,(2)质点动能定理,根据功的积分形

10、式,定义质点的动能为：,动能定理,质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。,d.功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。,b.动能的量值与参考系有关。,c.动能定理只适用于惯性系。,几点注意：,动能定理,多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点间的相互作用力（内力）。,二质点组成的系统,多个质点组成的系统,两个质点在外力及内力作用下如图所示：,(3)质点系动能定理,动能定理,对m1运用质点动能定理：,对m2运用质点动能定理：,动能定理,作为系统考虑时，得到：,动能定理,质点系动能定理：所有外力

11、与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。,动能定理,迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能 达到 1019 eV，是其静止能量的1010倍。,例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为 弹片的动能。,例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在 光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从 顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体 时速度 v ，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。,解：重力只对小球做功,水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。,对m，内力所做的功,对M，内力所做的功,* 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。

12、,1. 保守力,功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做保守力。不具备这种性质的力叫做非保守力。,设质量为m的物体在重力的作用下从a点任一曲线abc运动到b点。,1.1 重力作功,2.6 保守力 势能,在元位移 中，重力 所做的元功是,由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体所经历的路径无关。,设物体沿任一闭合路径 运动一周，重力所作的功为：,表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。,1.2 弹性力的功,弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设 两点为弹簧伸长后物体的两个位置， 和 分别表示

13、物体在 两点时距 点的距离。,由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。,1.3 万有引力的功,两个物体的质量分别为M和m，它们之间有万有引力作用。M静止，以M为原点O建立坐标系，研究m相对M的运动。,由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。,2. 成对力的功,设有两个质点1和2，质量分别为 和 ， 为质点1受到质点2的作用力， 为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。,由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力 及相对位移 有关，而与每个质点各自的运动无关。,表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的

14、不变性质。,保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关。,势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。,3. 势能,几种常见的势能：,重力势能,弹性势能,万有引力势能,保守力的功,成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。,注意：,（1）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。,（2）物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。,（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零

15、点可根据问题的需要来选择。,4. 势能曲线,1. 质点系统动能定理,设系统由两个质点1和2组成，它们的质量分别为m1 和m2。,2.7 功能原理,对质点1应用动能定理：,对质点2应用动能定理：,系统外力的功,系统内力的功,系统动能的增量,质点系统的动能定理：系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。,2. 系统的功能原理,因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和非保守内力的功 。,系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。,注意：,(1)当我们取物体作为研究对

16、象时，使用的是单个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包括重力、弹性力的一切外力所作的功。,(2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。,例题 一汽车的速度v0=36km/h,驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？,解 解法一：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到三个力的作用:一是沿斜坡方向向下的摩

17、擦力 ,二是重力 ,方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持力 ,如图所示。设汽车能冲上斜坡的距离为s，此时汽车的末速度为0。根据动能定理,上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因fr=N= G1,所以,按题意，tg=0.010，表示斜坡与水平面的夹角很小，所以sin tg，G1 G,并因G=mg,上式可化成,（1）,（2）,（3）,或,代入已知数字得,解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统内只有汽车受到 和 两个力的作用，运用系统的功能原理，有,机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势

18、能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。,常量,或,或,1. 机械能守恒定律,条件,定律,2.8 机械能守恒定律,2. 能量守恒定律,一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律。,能量守恒定律,例：在光滑的水平面上，有一质量为 的静止 物体B，在B上又有一质量为 的静止物体A，A受冲击，以 （相对于水平面向右运动，A和B之间的摩擦系数为 ，A逐渐带动B一起运动，问A从开始运动到相对于B静止时，在B上运动多远？,内力做功不为零，由系统的动能定理,解：取A和

19、B组成的系统，根据动量守恒,例 ：假定地球的密度是均匀的，并沿地球得直径钻一个洞，质点从很高的位置 落入洞中，求质点通过地心的速度。,由动能定理：,解：设通过地心的速度为,又质点在地球内、外受力不同,1. 刚体,刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。,2. 平动和转动,刚体最简单的运动形式是平动和转动。,当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。,2.9 刚体的定轴转动,刚体的平动过程,b,c,a,刚体的平动过程,b,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体的平动过程,

20、刚体的平动过程,刚体的平动过程,刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。,刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。,3. 刚体的定轴转动,定轴转动：,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同的时间内转过相同的角度。,特点：,角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。,刚体的定轴转动,角位移,角速度,角加速度,4. 角速度矢量,角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺

21、旋关系。,角速度矢量,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。,例题 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 ,式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,刚体的角动量 转动动能 转动惯量,1. 刚体的角动量,右图为以角速度绕定轴oz转动的一根均匀细棒。,把细棒分成许多质点，其中第i个质点的质量为,当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为,它相对于o点的位矢为,方向如图所示。,则 对o点的角动量为：,从图中可以看出：,因此,而这个分量

22、 实际上就是各质点的角动量沿 轴的分量 之和。,对于定轴转动，我们感兴趣的只是 对沿 轴的分量 ，叫做刚体绕定轴转动的角动量。,刚体对 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。,刚体转动惯量：,刚体绕定轴的角动量表达式：,式中 叫做刚体对 轴的转动惯量，用J表示。,2. 刚体的转动动能,因此整个刚体的动能,刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。,设刚体中第i个质点的质量为 ，速度为 ,则该质点的动能为：,上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。,式中 是刚体对转轴的转动惯量 ，所以上式写为,质元的质量,质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可

23、写成积分形式,3. 转动惯量的计算,按转动惯量的定义有,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,区别：,平动： 平动动能,线动量,转动： 转动动能,角动量,转动惯量的计算,例题 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得,转动平面,沿Z 轴分量为 对Z 轴力矩,对O 点的力矩：,力矩 刚体定轴转动定律,1. 力矩,力不在转动平面内,注 （1）在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平

24、面内的分力 对转轴的力矩。,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。,（2）,（3） 对转轴的力矩为零，,在定轴转动中不予考虑。,2. 刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,讨

25、论：,（4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。,（3）J 和质量分布有关；,（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；,惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1） M 一定，J,定轴转动定律,例题、 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、 T1(T1= T1) ，,物体2这边的张力为,T2、

26、 T2(T2= T2),因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,而,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能较精确地测出a来。,3-6 刚体角动量和角动量守恒定律,1. 定

27、轴转动刚体的角动量定理,刚体定轴转动定理：,则该系统对该轴的角动量为：,由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、，,对于该系统还有,为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。,角动量定理的微分形式：,则由,得,定轴转动刚体的角动量定理,2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。,恒量,讨论：,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,c.若系

28、统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例 一长为l 、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。,解：分两个阶段进行考虑,其中,(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前

29、、后的一瞬间,系统角动量分别为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,(2)子弹随杆一起绕轴O 转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：,由角动量守恒，得：,(1),定轴转动刚体的角动量守恒定律,由机械能守恒，E=E0, 代入q=300，得：,将上式与 联立，并代入J 值，得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,一.牛顿运动定律,任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。,牛顿第一定律提出两个力学基本概念：惯性和力,1. 牛顿第一定律,小结：,2. 牛顿第二定律,3. 牛顿第三

30、定律,二.常见的几种力,1.万有引力,2.弹性力,3.摩擦力,三.惯性参考系,四.力学相对性原理,五.功,六.质点动能和动能定理,合外力对质点做的功等于质点动能增量,六.保守力与非保守力 势能,七.质点系的动能定理,八.功能原理与机械能守恒,或,九.冲量 质点的动量定理,十.质点系的动量定理,十一.动量守恒定律,当,这就是动量守恒定律。,十二.质心运动定理,第 1、2章,三个定律,牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律,动量定理角动量定理动能定理,三个守恒定律,动量守恒定律角动量守恒定律机械能守恒定律,三个定理,时间累积效应,空间累积效应,牛二律，瞬时效应,33,动量定理,角动量定理,动能定理,

31、范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）。,10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。,20 由牛顿第二定律推出：,动量定理,动能定理,机械能守恒定律,动量守恒定律,功能原理,角动量定理,角动量守恒定律,解决问题的思路按此顺序倒过来，首先考虑用守恒定律解决问题。若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。,30 有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能， 注意各势能零点的位置，不同势能零点位置可以同， 也可以不同。（问：一般选哪里为势能零点？）,40 有些问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面、小球刚好脱离圆形轨道、木块刚好不下滑等）。,解题时先建立运动满足的方程，再加上临界条件（往往是某些力为零或 v 、a 为零等）。,50 特别注意用高等数学来解的问题。凡有极值问题要用求导的方法。,125,Thank you!,