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1、第五章 刚体的转动 rotation of a rigid body,5-1 刚体的平动、转动和定轴转动,1.刚体rigid body,刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。,2、刚体的平动：translation of a rigid body,当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。,刚体的平动过程,b,c,a,平动和转动,刚体的平动过程,平动和转动,b,刚体的平动过程,平动和转动,刚体的平动过程,平动和转动,刚体的平动过程,平动和转动,刚体的平动过程,平动和转动,刚体的平动过程,平动和转动
2、,刚体的平动过程,平动和转动,刚体的平动过程,平动和转动,刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。,刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。,平动和转动,3.刚体的定轴转动rotation of a rigid body around a fix axis,定轴转动：,定轴转动,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。,特点：,角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的
3、平面内运动，且作圆周运动。,刚体的定轴转动,角位移,角速度,角加速度,定轴转动,刚体运动的角量描述:,4.角速度矢量 angular velocity vector,角速度,角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。,角速度矢量,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。,5、角量与线量的关系:,对时间微分,方向,对于匀加速转动,有下面公式:,(1)滑轮的角加速度。,(2)开始上升后,5秒末滑轮的角速度,(3)在这5秒内滑轮转过的圈数。,(4)开始上升后,1秒末滑轮边缘上 一点的加速度(不打滑)。,解:(1)轮缘上一点的切向加速度与 物体的加速度相等,例题5-1:一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机
4、,滑论半径为0.5m,如果升降机从静止开始以 a=0.4m/s2 匀加速上升,求：,(2),(3),(4),合加速度的方向与轮缘切线方向夹角,已知at=a=0.4m/s2,*例题5-2 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞 轮的加速度；（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。,角速度,解（1）设初角度为0方向如图所示，,量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S
5、 时刻=0，代入方程=0+at 得,角速度,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,角速度,（2）t=25s 时飞轮的角速度为,（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向与0相同；,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,角速度,由,边缘上该点的加速度 其中 的方向与 的方向相反，的方向指向轴心，的大小为,的方向几乎和 相同。,角速度,例题5-3 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4,式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度
6、是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,角速度,5-2 转动中的功和能 Work and energy in the rotation,1.力矩的功 work done by torque,力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。,力 对P 点作功：,因,力矩作功：,对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,力矩的功,A、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。,B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大
7、小相等方向相反，一对内力矩的代数和为零；内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功 相对位移为零.）,C、功率：,当 M 与 同方向，A 和P 为正,当 M 与 反方向，A 和P 为负,说明：,1).刚体的转动动能:,刚体是有许多质点组成的,第 i 小块质点的动能,总动能:,质点运动的动能,2.刚体的转动动能rotational kinetic energy of a rigid body,2).转动惯量:rotational inertia(moment of inertia),如果刚体是连续分布的质点系,转动惯量的物理意义,平动：,质点平动动能,动量,刚体的转动动能,转动：,角动量,可见，转动
8、惯量J是转动中惯性大小的量度,说明：A、转动动能定理也与质点动力学中讲的动能定理 相同，只是动能的表示形式不同而己，,B、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。,3、定轴转动的动能定律rotational kinetic energy theorem,把质点系的动能定理应用到定轴转动的刚体，由于刚体内各个质元间相互不作功，Ainr=0,而Aext=Md.则,刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,4、刚体的重力势能:,x,y,z,o,C,质元的质量,质元到转轴的距离,转动惯量的计算,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式,5.3 转动惯量的计算
9、Calculation of moment of inertia(Calculation of rotational inertia),按转动惯量的定义有,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,转动惯量的计算,区别：,平动：平动动能,线动量,转动：转动动能,角动量,例题5.4 P146,均匀圆环：,dm,C R,转动惯量的计算,例题5.5 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、,宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的,质量dm=2rdr。可得,例5.5:计算
10、质量为m,半径为R,厚为l 的均匀圆盘的转动惯量.轴与盘面垂直并通过盘心。,l,解:圆盘可以认为由许多圆环组成。,实心圆柱对轴的转动惯量,例题5.6 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；*（3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。,l,l,O,x,dx,A,解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。,（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有,转动惯量的计算,因=m/l，代入得,转动惯量的计算,（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有,转动
11、惯量的计算,（3）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂 直时，我们有,这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。,哪种握法转动惯量大？,转动惯量与质量分布有关,转动惯量与材料性质有关,平行轴定理:,刚体对任一轴的转动惯量J,等于对过中心的平行轴的转动惯量、与二轴间的垂直距离d的平方和刚体质量的乘积之和。,证明略，见例题5.6（3）,定轴,（相当于）,刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率,由转动的动能定律微分形式：,5.4 刚体转动定律 law of rotation of a rigid body,两边除以dt:,a,例题5.8.已知：M、R、m
12、，绳质量不计，求：物体由静止开始下落h 高度时的速度和滑轮的角速度。,T1=T2=T,*例5.9.物体 m1m2，滑轮（R，m）。阻力 矩Mf，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求重物的加速度及绳中张力,解：,Mf,1.不计轴上摩擦 Mf=0,3.不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0,m=0),2.不计滑轮质量 m=0,解：,外力：重力、轴的作用力,重力势能的减少,1)、,例5.9：一匀质细杆（l，m）绕光滑水平轴在竖直面内 转动,初始 时在水平位置，静止释放，求:1)、竖直位置时重力所作的功;2)、下落角 时的角加速度、角速度;*3)、竖直位置时轴端所受的力。,2）、由转动定律：,由转动定律：,
13、细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为,*3、转动,质心运动,l,质点mi对O点的角动量为：,因vi垂直于Ri,，所以Li的大小为,刚体对O点的角动量，等于各质点角动量的矢量和。L并不和OZ 方向一致。感兴趣的OZ的分量Lz,叫做刚体绕定轴的角动量，即,转动惯量J,一、刚体的角动量angular momentum of a rigid body,5.5 刚体定轴转动的角动量守恒law of conservationof angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,二、定轴转动刚体的角动量定理 angular
14、 momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis,转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量-角动量定理。,所以,由转动定律,当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。-角动量守恒定律,若,则,由角动量定理,三、定轴转动刚体的角动量守恒定律law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis,角动量守恒定律：,讨论：,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，当合外力矩为
15、零时，其角速度恒定。,J=恒量,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回转仪,应用事例：,定轴转动刚体的角动量守恒定律,精确制导,应用事例：,定轴转动刚体的角动量守恒定律,直升飞机,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例5.10 一长为l、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹
16、水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。,解：分两个阶段进行考虑,其中,(1)子弹射入细杆,使细杆获得初速度。因这一过程进行得很快,细杆发生偏转极小,可认为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成待分析的系统,无外力矩,满足角动量守恒条件。子弹射入细杆前、后的一瞬间,系统角动量分别为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,(2)子弹随杆一起绕轴O 转动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末状态的机械能为：,由角动量守恒，得：,(1),定轴转动刚体的角动量守恒定律,由机械能守恒，E=E
17、0,代入q=300，得：,将上式与 联立，并代入J 值，得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例5.11：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一 周，求盘相对地转动的角度,解：,系统对转轴,角动量守恒,人，盘,例题5-12*图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，共是=2kg/s。废气的喷射速率（相对于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。,解 把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可
18、以认为废气质量远小于飞船的质量，,定轴转动刚体的角动量守恒定律,所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即,在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(=r)，所以此角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为,在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1，由此得
19、,即,定轴转动刚体的角动量守恒定律,于是所需的时间为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例题5-13*一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解：这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能,定轴转动刚体的角动量守恒定律,零点，用表示棒这时的角
20、速度,则,（1）,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则,（2）,式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可负。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为,（3）,由匀减速直线运动的公式得,由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得,（5）,定轴转动刚体的角动量守恒定律,亦即l6s；当 取负值，则棒向右摆，其
21、条件为,亦即l 6s,棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求结果为,当 取正值，则棒向左摆，其条件为,(6),定轴转动刚体的角动量守恒定律,例题4-14 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,定轴转动刚体的角动量守恒定律,解 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到
22、轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例题4-15 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一
23、周，它的内核半径R0约为2107m，坍缩成半径R仅为6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球。,解 在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的角动量J00和J应相等。因,定轴转动刚体的角动量守恒定律,代入J00=J中，整理后得,由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过300个。,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例16、,已知：均匀直杆(l,M),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹一起运动时的角速度,解：,子弹进入到一起运动瞬间完成,系统（子弹+棒）,外力：,重力、轴的作用力,对轴的力矩为零,角动量守恒,动量守恒？,
