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1、第二章 矩阵及其运算(Matrix & Operation),矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。,某班级同学早餐情况,这个数表反映了学生的早餐情况.,为了方便，常用下面右边的数表表示,2.1.1 矩阵的引入,1.定义2.1 由mn个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表,称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作,2.1.2 矩阵的定义,2. 说明: 矩阵与行列式不同,形式不同 矩阵的行列数可不同，但
2、行列式必须行列数同.,内容不同 矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.,3. 实矩阵、复矩阵,5. 矩阵 相等 充要条件是:,4 . 同型矩阵,两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵,2.1.2 一些特殊矩阵,1. 方阵 若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。,2. 行矩阵、列矩阵,行矩阵 只有一行的矩阵。,列矩阵 只有一列的矩矩阵,3. 零矩阵、单位矩阵,n阶单位矩阵,4. 对角矩阵与数量矩阵,5. 上（下）三角形矩阵,2.2 矩阵的运算,2.2.1. 矩阵的加法与数乘:,注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。,1. 矩阵的加法（定义2.2）: A=
3、 (aij) 、B= (bij),2.矩阵的数乘 定义2.3 数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：,负矩阵 : A= ( aij) 减法： B =+ ( B),3. 矩阵线性运算律： (1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) (3) A+ ( A) = O (4) 1A = A (5) ( kl )A = k(lA) (6) (k+l)A =kA+lA (7) k(A+ B) = kA+kB,例1若X满足,其中,求 X.,解 X=,2.2.2.矩阵的乘法：1. 矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵 A为ms 阶矩阵、矩阵B为 sn 阶矩阵，A= (a
4、ij) ms 、B= (bij) sn ，则矩阵 A与 B 的乘积为一 mn 阶矩阵C = (cij) mn，记 C = AB， 且,就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。,例2 计算,例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示,记,则非齐次线性方程组可简记为,关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右 矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是 A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；,2. 矩阵乘法与加法满足的运算规律,（3）AB与BA不一定同时会有意
5、义；即是有意义，也 不一定相等；（4）AB = O 不一定有A= O或B= O ； A(XY ) = O 且 A O 也不可能一定有X=Y,例4,定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行也是零；若矩阵 B的第j行是零列，则乘积 AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积 AB也是零矩阵。,例5 设,求AB与BA,解,只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子： (1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k Ak Bk,3.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：,例6,解,4.
6、方阵A的n次多项式,5.矩阵的转置定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果 A是一个 mn 阶矩阵， AT 是一个 nm 阶矩阵。,矩阵的转置的性质,证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵 B为sn阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵；又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因
7、此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故 ( AB )T = AT BT,6. 对称矩阵与反对称矩阵 设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A， 即 aij = aji (i,j=1,2,n)， 称矩阵A 为对称矩阵； 若AT = A， 即 aij = aji (i,j = 1,2,n)， 称矩阵 A 为反对称矩阵。,如右边的矩阵A 为对称矩阵,7.方阵的行列式（1）方阵 A 的行列式，记为| A| 或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为n 阶方阵，为实数),1) 伴随矩阵：设 A=(aij)
8、nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵,8、再讲几类特殊的矩阵,称矩阵A的伴随矩阵，记为A,矩阵运算举例,设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A1 = B 。,1）.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2,1、可逆矩阵的定义（定义2.8）,2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质,证明：充分性 由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义
9、有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| 0,2）. 定理2.2 A 可逆的充要条件是 | A| 0，且A可逆时有,3）.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明： AB = E | A| | B | =1 故 | A| 0且 | B| 0，A、B均可逆，又BA=BABB1=BB1=E,故 A1=B,必要性证明： A可逆 A A1 = A1 A = E故 | A| A1 |=1，即 | A| 0 ， A可逆，同时还有,奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵的行列式 | A| 0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。,4）.逆矩阵的性质 如果A
10、、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (A 1)1A (AT)1(A1)T (AB)1B1A1 (kB)1k1A1 (k为非零） | A1 |= | A| 1 证明： A、B均可逆 AA1=A1AE 故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理 (AB)(B 1 A1) (B 1 A1) (AB) E (A)1=1 A1,有关逆矩阵例题,本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。,2.4 分块
11、矩阵,即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。,2.4.1 分块矩阵的加法：设矩阵A,矩阵B为：,2.4.2 分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。,2.4.3 分块矩阵的转置,它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵（或对角块矩阵）。 对于准对角矩阵，有以下运算性质： 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设,2.4.4 准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式,则：,若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可
12、逆，且,2.4.5 矩阵分块的应用,2.4.6 矩阵按列分块,1.矩阵按列分块,2. 线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式,如果把系数矩阵A按列分成 n块，则线性方程组可记作,2.5 初等变换与初等矩阵,2.5.1矩阵的初等变换(Elementary operation),1 初等变换 定义,定下面的三种变换称为矩阵的初等变换 ：(i).对调两行(ii).以非0数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且
13、其逆变换也是同一种初等变换。,例18 设,（1）用行初等变换 把A化为阶梯形，进一步化为行标准形,（2）再用列初等变换 把A化为标准形,解（1）,（行阶梯形）,2 行阶梯形矩阵,定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行,如下面的阶梯形矩阵,行标准型,下面形式的矩阵称为行标准型,下面形式的矩阵称为标准型,3. 定理2.3,设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型,4 定理 矩阵A可经初等变换化为标准形:,（1）. 已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的2倍加到第二列，
14、求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。,解 交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵 左乘A：,将A的第一列的2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A：,2.5.2 初等矩阵,1. 初等矩阵的定义（定义2.12）,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。,人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。,对于n阶单位矩阵I，交换E的第 行 ，得到的初等矩阵记作：,(2) 用非零数k乘以I的第 行，得到的初等矩阵记作 :,(3) 将I的第 行的 倍加到第 行，得
15、到的初等矩阵记作：,(4) 同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵,2. 初等矩阵之间的关系,3. 可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；,4. 初等矩阵与初等变换之间的关系；,1）. 先看下面的例题,1）行初等矩阵左乘矩阵,（3）. 列初等矩阵右乘矩阵,2）. 结论,定理2.4 A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。,5. 矩阵等价,定义2.13 若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价,6. 初等矩阵可逆性,初等矩阵是可逆的，且有,7. 结论,定理2.6
16、 可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积 。,证明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵,使得,因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而 r=n, 即有,于是有,证毕,初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。,又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。,定理2.5 矩阵A 与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得 PAQ=B. 特别地，矩阵A等价于A的标准形。,证明： 初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积,8. 可逆矩阵的逆的求法
17、,A可逆,则有行初等行矩阵,使得,则有,记,则有行初等矩阵,使得,上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：,例4 求A的逆矩阵,例5 求A的逆矩阵,解,2.6 矩阵的秩,2.6.1 矩阵的秩的概念(Rank of a matrix),1. 定义 在mn矩阵A中，任取k行k列（k m，k n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。,2. 定义2.14 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为 矩阵A的秩，记为R(A) = r，并规定零矩阵
18、的秩等于零。,4. 由矩阵的秩的定义易得：,（1）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数,（2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常 数k与矩阵A的积的秩等于矩阵 A 的秩。,（3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩 矩阵）。,（4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于 等于r;若 A所有一个r+1阶子式等于零， 则r(A) 小 于等于r。,例20 求下列矩阵的秩,解： A是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为0，故R(A)3。,对于B，可以验证R(B) 2。 因为中有一个二阶子式不为0，而所有的三阶子式（四个）全为0，,2.6.2
19、 用初等变换求矩阵的秩,定理2.7 初等变换不改变矩阵的秩,证明 从前面的讨论显然有上面的结论,从上面的例题很容易看出：阶梯型矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩,例21 用初等变换求下列矩阵的秩,故A的秩为3,定理2.8 设矩阵A ，可逆的P与Q ，则,r(PA)=r(A),2.6.3 矩阵秩 的不等式,r(AQ)=r(A),r(PAQ)=r(A),证明 从前面的讨论显然有上面的结论,以下结论很重要，会经常应用,定理2.9 两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩， 设A是mn矩阵，B是nk矩阵,则,证明 设 r(A)=r,由定理 2.5可逆的P与Q,使得,于是,将,分块,于是有,再由定理2.8，有,同理可证,定理2.10 （Sylvester 公式） A是mn矩阵，B是nk矩阵，则,特别,定理2.11 A、B是mn矩阵，则,证明,将A, B排成m2n的矩阵,则有,由定理2.9有,综上，有,由定理2.7,例22 设A为n阶幂等矩阵，即,证明,证明,由,有,由定理2.10,有,另一方面,由定理2.11,有,故有,
