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1、6.2 经验分布函数和频率直方图,分布函数是随机变量的一个重要特征，既然总体可以用随机变量来表示，而样本又可对总体的信息进行提取。因此，怎样用样本(X1,Xn)估计总体X的分布函数F(x)?,任意给定自变量x，则 F(x)=P(Xx)用事件Xx)发生的频率作为其估计即可。这就引出了下面所谓经验分布函数的概念。,即,设X1,Xn是抽自总体X的一个样本，观察值为x1,xn，次序观测值x(1) x(n)，则总体X的经验分布函数定义为,x,一、经验分布函数,x (1),x (2),例 总体X，样本观察值1，2，2，2，3，3，3，4，则经验分布函数为,经验分布函数如右图所示：,关于经验分布函数，我们要
2、注意一下几点：,经验分布函数是利用样本得到的，而样本是随机向量，所以经验分布函数也是随机的。同一个总体，即使是在相同的样本容量下，不同的样本也会给出不同的经验分布函数；对于给定的x，Fn(x)是一个随机变量，是事件Xx在n重贝努里试验中发生的频率；给定样本值后，经验分布函数就成为一个普通的跳跃函数，而且恰好是一个离散型随机变量的分布函数，该离散型随机变量的分布列为 Pi=1/n,i=1,2,n,定理6.2.1(格列汶科定理或Glivenko-Cantelli定理) 设F(x)是总体X的分布函数，Fn(x)是总体X的经验分布函数，,所以，我们有必要研究随着样本的不同经验分布函数会发生什么变化。也
3、就是研究经验分布函数和总体分布函数之间的关系。,二、频率直方图,如果总体X的分布函数F(x)有密度函数p(x)，怎样利用样本(X1,X2,Xn)来刻画这个密度函数？任意给定xa,b)，则当a,b)区间比较短，而且p(u)在a,b)区间变化不大时，有,再次利用频率近似概率的思想，用Rn(a,b)表示样本(X1,X2,Xn)中落在a,b)的个数，那么,这就引出了频率直方图。,依次给定m+1个实数t00. 令,用fn(x)作为密度函数p(x)的估计，这就是频率直方图法。,（1）找出x(1),x(n)，选择适当的ax(n).（例如将x(1)缩小半个刻度作为a，将x(n)放大半个刻度作为b）取m-1个分
4、点a=t0tm=b，得到m个等分区间ti-1,ti)(i=1,m)。ti-1称为第i组的下组界；ti称为第i组的上组界；h=ti-ti-1称为组距或步长。则每个数据都落在其中的一个小区间上。,（2）统计落在每一组上的频数ni=Rn(ti,ti+1) ；计算 fi= ni/nh，i=0,1,m-1.,（3）以ti-1,ti)(i=1,m)为底，fi为高作矩形，即频率直方图。,设(x1,xn)是得到的样本观测值，在实际使用时，我们往往用以下步骤具体给出频率直方图,例 下表为我国大陆各省、直辖市2001年人均国民生产总值（万元），试做出频率直方图，从中判断数据大概是来自什么样的总体？,解： 最小值为
5、2895，最大值为37382，取a=2894.5，b=37382.5，将区间分成6等分，统计频数计算频率，得下表：,频率直方图如下图所示：,初步判断数据是来自什么样的总体？,这个例子中数据量相对来说比较少，一般情况下数据量最好大于100，分组的个数根据数据量来确定，一般介于n/10,n/5之间，最多不能超过20组。,定理6.2.2 密度函数p(x)在点xt0,tm)处连续，样本容量为n，且,由（1-3）可知，结论成立。,证明：由p(x)在点xt0,tm)处连续知其局部有界，即存在0，K0，使得对y x- ,x+ 有p(y)K。,由已知条件知，样本容量n充分大时，h 。设 xtk,tk+1)，对任给的0，,由于Rn(a,b)B(n,pk)，其中,作业2：习题六的第2，3，4，5，6题，其中第6题还有求使用软件来完成。,
