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1、迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题是：1. 如何构造迭代格式 2.迭代序列是否收敛,第六章 解线性代数方程组的迭代法,一 . 基本迭代法的格式及收敛性二 . 几种实用的基本迭代法三 . 应用实例,一 . 基本迭代法的格式及收敛性,设有线性代数方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1+an2x2+annxn=bn,用矩阵表示： Ax =b A 为系数矩阵，
2、非奇异且设aii0；b为右端，x为解向量,注：分解A是一个重要问题,在Rn中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即,二.几种实用的基本迭代法,1、Jacobi迭代法2、Gauss-Seidel迭代法3、超松弛迭代法（SOR),1、Jacobi 迭代,Jacobi迭代矩阵,推导其分量形式,第i个方程除以aii(i =1,2,n),得,Jacobi迭代的分量形式,则 x(k+1)=BJx(k)+g ，这里 BJ=D-1(L+U) , g=D-1b,Jacobi迭代公式（分量形式）,给出初始向量 x(0), 即可得到向量序列： x(1),x(2),x(k),若 x(k) x*, 则x*是解。,例1：设
3、方程组为,解：Jacobi迭代格式为,试写出其Jacobi分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。,故Jacobi迭代矩阵为,取 x(0)=(0,0,0)t, e=10-3,终止准则：x(k)-x(k-1)e,例2：设方程组为,解： Gauss-Seidel迭代格式为,试写出Gauss-Seidel迭代格式.,2、Gauss-Seidel迭代法,Gauss-Seidel迭代的分量形式,推导Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式,Gauss-Seidel迭代矩阵,Gauss-Seidel迭代公式,给出初始向量 x(0), 即可得到向量序列： x(1),x(2),x(k),若 x(k) x*,
4、则x*是解。,Ab.ma(1,1)=1/2+1/4+1/3;a(1,2)=-1/4;a(1,3)=-1/3;a(2,1)=a(1,2);a(2,2)=1/4+1/3+1/5;a(2,3)=-1/5;a(3,1)=a(1,3);a(3,2)=a(2,3);a(3,3)=1/3+1/5+1/3;b(1)=20/2;b(2)=0;b(3)=5/3;,function x,k=gs(A,b)n n=size(A);x=zeros(1,n);for k=1:1000 error=0; for i=1:n s=0;xb=x(i); for j=1:n if i=j,s=s+A(i,j)*x(j);end
5、end x(i)=(b(i)-s)/A(i,i); error=error+abs(x(i)-xb); endif error/n0.0001,break;endendfprintf(k.no.=%3.0f,error=%7.2en,k,error),|A|=12+4-15=1, |2D-A|=12-4-15=-7,例:讨论用Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，已知,解:(1)对A：不是严格对角占优的矩阵，无法用充分准则I，(2)考虑充分准则II，计算Jacobi迭代矩阵BJ=D-1（L+U）=I-D-1A,不满足充分准则II，故无法判断。,先求出Gauss-Seide
6、l迭代矩阵 BG=(D-L)-1U,(3)考虑用定理2的充分条件,不满足定理2的充分条件，故无法判断。,(4)再用定理1的充要条件,例:讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中,解: (1)对Jacobi方法，迭代矩阵,(2)对Gauss-Seidel方法，迭代矩阵,Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快。,3、超松弛迭代法（SOR法）,以三阶方程为例，推导超松弛迭代法（SOR法）的分量形式,SOR迭代公式（分量形式）,推导SOR迭代格式的矩阵形式（以三阶方程为例）,推导SOR迭代格式的矩阵形式,SOR法收敛性的结论：,（1）SOR方法收敛的必要条件为0 2,（2）若系数阵A对称正定，则当0 2时， SOR方法收敛,（3）若系数阵A严格对角占优，则当0 1时， SOR方法收敛。,在计算机上采用动态计算形式,(1) x(i)=0 (i=1,2,n) (2)对k =1,Kmax,循环计算到第(7)步(3)置ER=0,
