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1、三角形与全等三角形,基础知识 自主学习,1三角形边、角关系： 三角形的任何两边之和 第三边；三角形的内角和等 于 .2三角形的分类： 按角可分为 和 ，按边可分 为 和 ,要点梳理,大于,180,直角三角形,斜三角形,不等边三角形,等边三角形,3三角形中的主要线段： (1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的 交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条 角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距 离相等 (2)中线：连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫 做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形 的重心 (3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫 做三角形的
2、高；三角形三条高线的交点，叫三角形的 垂心 (4)中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的 中位线,4外心： 三角形三边的中垂线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的 距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形 外，直角三角形的外心在斜边中点5全等三角形的性质和判定： (1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三 角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等 三角形的周长、面积也相等. (2)判定： 对应相等的两个三角形全等(SAS)； 对应相等的两个三角形全等(ASA)； 对应相等的两个三角形全等(AAS)； 对应相等的两个三角形全等(SSS)； 对应相等
3、的两个直角三角形全等(HL),两边和夹角,两角和夹边,两角和其中一角的对边,三边,斜边和一条直角边,难点正本疑点清源 1三角形的分类 按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定 2提高运用全等三角形解决几何证明问题的能力 用全等三角形解决几何证明问题，要灵活运用题设条件，结合待证结论，对照图形，从不同角度去试探，不要怕碰壁，要善于分析，总结规律，并加以适当
4、练习，一定能提高运用全等三角形证题的能力 证明三角形全等的过程中，应遵循以下几点：(1)先指明在哪两个三角形中研究问题；(2)按边、角的顺序列出全等的三个条件(对于直角三角形有两个条件)，并用大括号括起来；(3)写出结论，将两个全等三角形中表示对应顶点的字母写在对应的位置上；(4)在证明过程中要步步有依据,判定三角形全等的基本思路是：(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件 如果待证结论所在的两个三角形不全
5、等，则需要添加辅助线，构造全等三角形构造的常用方法有：(1)若已知三角形的中线，往往会用到“中线倍长”的方法；(2)可通过作平行线，构造相等的角，创造三角形全等的条件；(3)截取相等线段或相等角，创造条件在实际解题过程中，要注意结合题意，采取不同的辅助线作法，并注意及时总结,基础自测,1(2011滨州)某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是() A. 1 B5 C7 D9 答案B 解析这个三角形第三边x的范围是43x43，即1x7，只有5在此范围内,2(2011苏州)ABC的内角和为() A180 B360 C540 D720 答案A 解析根据内角和定义可知,3(20
6、11济宁)如图，AEBD，1120，240，则C的度数是() A10 B20 C30 D40 答案B 解析由AEBD，得AED240.在ACE中，C1801AED1801204020.,4(2011衢州)如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为() A1 B2 C3 D4 答案B 解析因为PAON，且PA2，可知点P到ON的距离等于2，根据OP平分MON，角平分线上的点到角两边的距离相等，当PQOM时，PQ的值最小，为2.,5(2011上海)下列命题中，真命题是() A周长相等的锐角三角形都全等 B周长相等的直角三角形都全等 C周长相等的钝角
7、三角形都全等 D周长相等的等腰直角三角形都全等,答案D,题型分类 深度剖析,【例 1】(1)(2011河北)已知三角形三边长分别为2，x, 13，若x为正整数，则这样的三角形个数为() A2 B3 C5 D13 答案B 解析132x132，即11x15. 整数x的值为12,13,14，这样的三角形有3个,题型一三角形的三边关系,探究提高三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短” 根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a、b，可确定三角形 第三边长c的取值范围|ab|cab.,知能迁移1(1)(2012青海)等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为_ 答案22 解析4489，第
8、三边长只能为9，周长49922.(2)(2011南通)下列长度的三条线段，不能组成三角形的是() A3, 8, 4 B. 4, 9, 6 C15, 20, 8 D. 9, 15, 8 答案A 解析因为348，所以长度为3,8,4的三条线段不能组成三角形,题型二三角形的内角、外角的性质,【例 2】一个零件的形状如图所示，按规定A90，B和C分别是32和21，检验工人量得BDC148，就断定这个零件不合格，请说明理由,解延长BD交AC于E. DEC是ABE的外角， DECAB9032122. 同理，BDCCDEC 21122143148. 这个零件不合格探究提高有关求三角形角的度数的问题，首先要明
9、确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”,知能迁移2如图，P是ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“BDC， 同理BDCBAC.BPCBDCBAC.,题型三运用全等三角形的判定,【例 3】已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明,解证明：ADBE，AFDE，无法判定ABCDEF， 这是假命题 添上一个条件，比如ACDF. ADBE，ADDBBEDB，即ABDE. 又AFDE，ACDF. ABCDEF
10、(SAS) 亦可添加：CF，或ABCE.探究提高本题可运用多种判定方法得到三角形全等的结论，但切记“两边一对角”是不能判定两个三角形全等的,知能迁移3(2012金华)如图，在ABC中，D是BC边上的点(不与B、C重合)，F、E分别是AD及其延长线上的点，CFBE. 请你添加一个条件，使BDECDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明 (1)你添加的条件是：_； (2)证明,解(1)在BDDC(或点D是线段BC的中点)，FDED，CFBE 中，任选一个即可 (2)以BDDC为例进行证明 CFBE， FCDEBD. 又BDDC，FDCEDB， BDECDF.,题型四运用全等三
11、角形的性质,【例 4】已知：如图，在ABC中，D是BC的中点，EDDF，求证BECFEF.,解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！,证明：延长ED到M，使DMED，连接CM、FM. D是BC的中点，2分 BDCD. 在EDB与MDC中， EDBMDC(SAS)6分 BECM. 在FMC中，CFCMMF， 又EDDF，EDDM， EFFM. CFCMEF，即CFBEEF.8分探究提高利用中线加倍延长法，把BE、CF、EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证,知能迁移4(2011浙江)如图，点D、E分别在AC、AB上 (1) 已知：BDCE，CDBE，求证：ABAC； (2) 分
12、别将“BDCE”记为，“CDBE” 记为，“ABAC”记为.添加条件、，以为结论构成命题1；添加条件、，以为结论构成命题2.命题1是命题2的_命题，命题2是_命题(选择“真”或“假”填入空格),解证明：(1) 连接BC， BDCE，CDBE，BCCB， DBCECB (SSS) DBCECB. ABAC. (2) 逆， 假,答题规范,考题再现如图，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且CDBE，求证：ADCAEB.学生作答 证明：在ADC和ABE中， ABEACD， ADCAEB.,8留心“边边角”,规范解答 证明：连接BC. ABAC， ABCACB. 在DBC和ECB中， DBCECB(S
13、AS) BDCCEB. ADCAEB.,老师忠告1先看一个事实，如图，将等腰ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的DAB和DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟,2全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成败，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”，“边角边”，“角角边”及“斜边、直角边”3怎样添加辅助线：做个比喻，思考某些题目，在沟通已知和结论的途中，一条河挡住了道路，这时添加必要的辅助线，就好像在河上架起桥梁添加辅助线的原则一是当分析思考出
14、现上述需要时才添加，而不要在思考伊始就乱连乱添，把图形复杂化，反而把思路搞乱；原则二是顺着思考分析的方向，注意沟通过程中的需要，而水到渠成地添上适宜的一笔；原则三是注意总结在什么情况下需要怎样添加的规律，如对于涉及(指题设或结论中出现)三角形的(中点)中线的问题，可以把该中线延长一倍，再把其端点和中点所在的边的端点相连结，构成三角形全等.,思想方法 感悟提高,方法与技巧 1. 三角形涉及的相关概念较多，准确地理解概念，掌握分类的思想方法，养成全面、周到地考虑问题的习惯 2. 三角形全等的判定定理和性质定理，直接或间接地推出平面几何中绝大多数的定理；判定三角形全等并利用三角形全等的性质，是不少题
15、目解决过程中重要的一步，因此，要学会完成证明的思考方法，培养和提高逻辑思维和推理的能力,3. 平面几何主要学习的内容是推理论证，对于一道题目，如何去想出它的证法，基本的思考方法有： (1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标； (2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法； (3)顺推分析与逆推分析相结合； (4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法,4. 证明三角形全等的两
16、种基本思考途径： (1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心对称)或旋转性时，思考途径是：从对居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件； (2)图形不具有明显的对称性或旋转性，此时要证明两个三角形全等，在思考上的关键是找准对应关系其方法是：已知条件中相等的角、边对应，则它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应，它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角分别对应,失误与防范 1三角形三边关系揭示了三角形边之间的一个重要性质，可以用来判断三条线段能否构成三角形，证明线段的不等关系，是以后推理常用
17、的依据 2三角形的高的位置不同于中线和角平分线，后两者总在三角形的内部，前者则要视三角形的形状而定锐角三角形三条高在其内部，钝角三角形有两条高在其外部，直角三角形有两条高恰好重合于两条直角边因此，这两条高既不在形内，也不在形外 3在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况，有些命题在一种情况下是真命题，而在另一种情况下就可能不是真命题,完成考点跟踪训练21,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
