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1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:C(-):cos(-)=_.C(+):cos(+)=_.S(+):sin(+)=_.S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,T(+):tan(+)=_(,+ +k,kZ).T(-):tan(-)=_(,- +k,kZ).,(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:S2:sin2=_.C2:cos2=_=_=_.T2:tan2=_( +k,且k+ ,kZ).,2sincos,cos2
2、-sin2,2cos2-1,1-2sin2,2.必备结论 教材提炼记一记(1)降幂公式:cos2= ,sin2= (2)升幂公式:1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.(3)公式变形:tantan=tan()(1tantan).3.必用技法 核心总结看一看(1)常用方法:整体代入法,配凑法.(2)数学思想:转化化归思想.,(3)记忆口诀:余余正正符号异,正余余正符号同,二倍角,数余弦,找联系,抓特点,牢记忆,用不难.,【小题快练】1.思考辨析 静心思考判一判(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()(2)存在实数,使等式sin(+)=sin+sin成立.()(3)公式
3、tan(+)= 可以变形为tan+tan=tan(+)(1-tantan),且对任意角,都成立.()(4)存在实数,使tan 2=2tan.(),【解析】(1)正确.对于任意的实数,两角和与差的正弦、余弦公式都成立.(2)正确.如取=0,因为sin0=0,所以sin(+0)=sin=sin+sin0.(3)错误.变形可以,但不是对任意角,都成立.,+k+ ,kZ.(4)正确.当=k(kZ)时,tan 2=2tan.答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改编 链接教材练一练(1)(必修4人教AP130例4T(1)改编)sin108cos42-cos72sin42=.【解析】原式=sin(180
4、-72)cos42-cos72sin42=sin72cos42-cos72sin42=sin(72-42)=sin30= .答案:,(2)(必修4人教AP137A组T5改编)已知则cos =_.,【解析】因为答案：,3.真题小试 感悟考题试一试(1)(2014上海高考)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.【解析】y=-2cos2(2x)-1=-cos4x,所以函数的最小正周期T= .答案:,(2)(2014新课标全国卷)函数f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+)的最大值为.【解析】因为f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+)=sin(x+)cos+cos(x+)
5、sin-2sincos(x+)=sin(x+)cos-cos(x+)sin=sinx1.所以f(x)max=1.答案:1,考点1 化简与计算【典例1】(1)(2015合肥模拟)cos(+)cos+sin(+)sin=()A.sin(+2)B.sinC.cos(+2)D.cos(2)计算tan25+tan35+ tan25tan35=.(3) 的化简结果是.,【解题提示】(1)逆用两角差的余弦公式化简.(2)观察式子的特点,逆用两角和的正切公式计算.(3)应用二倍角的正、余弦公式化简.,【规范解答】(1)选D.cos(+)cos+sin(+)sin=cos(+)-=cos.(2)因为tan(25
6、+35)=所以tan25+tan35=tan60(1-tan25tan35)= - tan25tan35,所以tan25+tan35+ tan25tan35= - tan25tan35+ tan25tan35= .答案:,(3)原式=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因为 所以cos 40,且sin 4cos 4,所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.答案:-2sin 4,【易错警示】解答本例(3)有三点容易出错:(1)想不到应用二倍角公式,不能把根号下的式子化为完全平方式.(2)把4与4弧度混淆,导致开方出错.(3)忽略讨论cos4的符号及si
7、n4与cos4的大小而直接开方导致出错.,【互动探究】对于本例(2),试化简tan+tan(60-)+ tantan(60-).【解析】因为tan+(60-)=所以tan+tan(60-)=tan601-tantan(60-)= - tantan(60-),故原式= - tantan(60-)+ tantan(60-)= .,【规律方法】1.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值.(2)尽量使函数种数最少.(3)尽量使项数最少.(4)尽量使分母不含三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.,2.特殊角的三角函数值的逆用当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提
8、示.可以根据问题的需要,将常用三角函数式表示出来,构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.,【变式训练】1.化简sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)=.【解析】原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=sin(+)+(-)=sin(+).答案:sin(+),2.(2015西宁模拟)计算: =.【解析】 =tan(45-15)=tan30= .答案:,【加固训练】1.化简 的结果是( )A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1【解析】选C.原式=,2.化简： =_.【解析】答案：,3.计算 =_.【解析】因为tan(20+40)=所以t
9、an 20+tan 40= (1-tan 20tan 40),所以原式=答案：-,考点2 三角函数求值【典例2】(1)(2015临沂模拟)计算 的值为()(2)计算:4sin40-tan40=.(3)(2015成都模拟)计算cos40(1+ tan10)=.,【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角,然后逆用二倍角公式求值.(2)切化弦,通分化简求值.(3)切化弦,通分,注意逆用两角和与差的三角函数公式.,【规范解答】(1)选A.原式=,答案：1,【一题多解】解答本例(2)，你还有其他解法吗？解答本例(2)还可有如下解法：原式=4sin 40-答案：,【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧(
10、1)变角:分析角之间的差异,巧用诱导公式把大角统一到小角上来,或把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和.(2)变名:尽可能使得函数统一名称,常化弦为切.(3)变式:观察结构,利用公式,整体化简.提醒:“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.,【变式训练】(2015南宁模拟)计算： =_.【解析】答案：2,【加固训练】1.(2015昆明模拟)计算： =( )A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析】选D.,2.(2015三明模拟)计算：_,【解析】原式答案：,考点3 三角函数的条件求值知考情利用和、差公式及倍角公式在已知条件下的求值
11、问题是高考的热点,常与平面向量的知识相结合,题型是三种类型都有,但近几年常以解答题的形式出现.,明角度命题角度1:与平面向量相结合的条件求值【典例3】(2014陕西高考改编)设0 ,向量a=(sin2,cos),b=(1,-cos),若ab=0,则sin2+cos2=.【解题提示】先由向量的运算得到sin与cos的关系,再由此关系式确定方向,求sin2+cos2的值.,【规范解答】因为ab=0,所以sin2-cos2=0,即2sincos=cos2.因为(0, ),所以2sin=cos,即tan= ,所以sin2+cos2=答案:,命题角度2：三角函数的给值求值【典例4】(2014江苏高考)已
12、知( ,),sin =(1)求sin( +)的值.(2)求cos( -2)的值.【解题提示】(1)先由条件求cos 的值，再求sin( +)的值.(2)由sin ,cos 的值，先求sin 2,cos 2的值,再求cos( -2)的值.,【规范解答】(1)由题意cos =所以sin( +)=sin cos +cos sin ,命题角度3：和函数相结合的条件求值【典例5】(2014广东高考)已知函数f(x)=Asin(x+ )，xR，且(1)求A的值.(2)若f()+f()= ,(0, )，求f( ).【解题提示】(1)属于给角求值问题，把 代入解析式求得A.(2)利用两角和与差的正弦和诱导公式
13、及同角三角函数的关系求解.,【解析】(1)由(2)f()+f()=,悟技法1.与向量有关的求值问题的解法三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联,这类问题需要先用向量公式进行运算后,再用三角公式进行化简和求值.2.给值求值问题的解法已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求值.,3.和三角函数相结合的条件求值的解法该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式,然后把已知条件代入函数解析式化简并求相关的值,变形成要求的式子并代入前面所求的值计算.,通一类1.(2013江西高考改编)
14、若 则cos2=.【解析】因为 所以cos=cos2=2cos2-1=答案:-,2.(2015大同模拟)已知向量a=(4,5cos),b=(3,-4tan).若ab,且(0, ),则cos(2- )=.,【解析】因为ab，所以ab0，即12-20cos tan 0，所以12-20sin 0，即sin 因为(0， )，所以cos 所以sin 22sin cos ，cos 21-2sin2所以cos(2- )cos 2cos +sin 2sin 答案：,3.(2014四川高考改编)已知函数f(x)=sin(3x+ ).若是第二象限角，f( )= cos(+ )cos 2，求cos -sin 的值.
15、,【解析】由已知，有sin(+ )= cos(+ )cos 2,所以sin cos +cos sin = (cos cos -sin sin )(cos2-sin2),即sin +cos = (cos -sin )2(cos +sin ).当sin +cos =0时，由是第二象限角，知=2k+ (kZ),此时cos -sin =cos -sin =- .,当sin +cos 0时，有(cos -sin )2= ，由是第二象限角，知cos -sin 0，此时cos -sin =-综上，cos -sin =- 或cos -sin =-,自我纠错10 条件求值问题【典例】(2015南京模拟)已知sin（x- ）= ,x(,2)，则 =_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:解题过程忽视了角的取值范围,误以为cos(x- )是正值,符号之差导致下面的答案错误.,【规避策略】1.注意角的取值范围已知某一角的正(余)弦值,求该角的余(正)弦值时,涉及开方运算,需注意角的取值范围.,2.弄清角之间的关系，灵活运用诱导公式常见的角的关系， +x与 -x互余， +x与 -x互余，2x与 -2x互余， +x= +(x- ), +x= +(x+ )等.弄清常见角的关系，灵活运用诱导公式变形后可整体代入求值.,【自我矫正】因为x(,2),所以又所以所以,答案：-,
