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1、第二章 推理与证明,内容结构 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。,2.1 合情推理与演绎推理,在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如:,1、什么是推理,推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程
2、。,医生诊断病人的病症，,警察侦破案件，,气象专家预测天气的可能状态，,考古学家推断遗址的年代，,数学家论证命题的真伪等等。,在数学中，证明的过程更离不开推理。,本节知识结构,2.1.1 合情推理,归纳推理,歌德巴赫猜想的提出过程：,3710，31720，131730， 1037，20317，301317,偶数奇质数奇质数,63+3，,猜想： 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个奇质数之和；,83+5，105+5，125+7，147+7，165+11， 1 00029+971，,一个规律：,归纳推理的定义:,由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个
3、别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).,简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。,例如： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀,所以，所有的金属受热后都体积膨胀。,例如： 磨擦双手（S1 ）能产生热（P）， 敲击石头（S2 ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S3 ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；,所以，物质运动能产生热。,如:观察下图,可以发现,1+3+(2n1)=n2,1+3=4=
4、22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，,解:,当n=1时,a1=1;,当n=2时，,当n=3时，,当n=4时，,观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒数,由此猜想,这个数列的通项公式为:,例1:已知数列an的第1项a1=1且 (n=1,2,3 ),试归纳出这个数列的通项公式.,练习:(2010.上海)根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有 个点.,(1),(2),(3),(4),(5),练习:(2009年广东)设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交
5、点的个数, f(4)= ,当n4时,f(n)= .(用n表示),累加得:,归纳推理的一般步骤：, 检验猜想。, 提出带有规律性的结论，即猜想；, 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理；,归纳猜想可以让我们不断地发现新事物和新结论,归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明,例如，法国数学家费马观察到,都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如 的数都是质数。,这就是著名的费马猜想。,半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数,不是质数，从而推翻了费马的猜想。,据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发
6、明了锯子.,鲁班的思路是这样的：,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,这个推理过程是归纳推理吗？,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否存在生命,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）,类比推理的定义:,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是自然奧妙的参与者和自己最好的老师,数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于
7、平面几何的类比问题.”,【例1】如图，利用类比推测球的有关性质,球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的连线垂直于截面圆。,与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等；与球心距离较近的截面圆面积较大。,球的表面积,球的体积,例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。,解(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数。,(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即,(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即,类比推理的一般步骤：, 找出两类对象之间可以确切表
8、述的相似特征；, 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；, 检验猜想。,例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想,地图的”四色猜想”,歌尼斯堡七桥猜想,卡拉比猜想,数学中的猜想,欧氏第五公设猜想,西塔潘猜想,费马大定理,欧氏第五公设猜想,数学中的猜想:,非欧几何,费马大定理,当整数n 2时，关于x, y, z的不定方程 无正整数解。,3+4=5,5+12=13.,维尔斯于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理” 。,数学中的猜想:,地图的“四色猜想”,数学中的猜想:,每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的地区着上不同的颜色。,歌尼
9、斯堡七桥猜想,18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。,数学中的猜想:,卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的:在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场?卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实，包括卡拉比自己。 数学家丘成桐27岁攻克几何学上难题“卡拉比猜想”，并因此在1982年(33岁)获得数学界的“诺贝尔奖”菲尔兹奖,卡拉比猜想,数学中的猜想:,中国目前最年轻的教授刘路
10、，90年生，22岁被聘任为中南大学正教授级研究员,数学中的猜想:,“西塔潘猜想”,“西塔潘猜想”是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个反推数学领域关于拉姆齐二染色定理证明强度的猜想。在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。2011年5月，由北京大学、南京大学和浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在浙江师范大学举行，中南大学数学科学与计算技术学院酷爱数理逻辑的刘路的报告给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想。,你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？,从
11、构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成，它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；,从构成几何体的元素数目看，三角形由3条直线围成，它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。,从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比对象。,例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。,解：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有3个面两两互相垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象。,如图，RtABC中有勾股定理：a2+b2=c2。,类似地,在四面体P-DEF中，PDF= PDE= EDF=900。,设S1，S2，S3和S分别表示PDF， P
12、DE， EDF和PEF的面积。,直角三角形有2条直角边a，b和1条斜边c，类似于四面体P-DEF有3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面”S.,于是,类比勾股定理的结构，我们猜想 S2=S12+S22+S32。,平面图形与空间图形常见类比对象,拓宽视野 深化类比思想,平面,四面体,正方体,球,几何体体积,切面,垂面,面面角,空间坐标系,R2,P,O,P1,O1,Q,P2,R1,Q2,Q1,O2,O3,运用类比思想，提升推理能力,R,同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠。,例如，,“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”,得到猜想：,“空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行
13、”,显然，这个猜想是错误的。,合情推理,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。,合情推理在数学中的作用,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。,证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,1.复习:,前面学习了归纳推理和类比推理这两种合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理,1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,所以铜能够导电.,因为铜是金属,所以(2100+1)不
14、能被2整除.,因为(2100+1)是奇数,判断下列推理是否是合情推理,我们常以某些一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断。,从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理,注：,演绎推理是由一般到特殊的推理；,“三段论”是演绎推理的一般模式；如下：,1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.,因为铜是金属,三段论是演绎推理的一般模式,包括:,用集合论的观点看,三段论的依据是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.,M,S,a,一条抛物线,二次函数的图象是一条抛物线,感受理解,说明:为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的
15、表述方式.,数学上的证明主要通过演绎推理来进行的，我们来看一个例子。,（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，,在ABD中，ADBC，即ADB=900，,所以ABD是直角三角形。,同理ABE是直角三角形。,（2）因为直角的三角形斜边上的中线等于斜边的一半，,而M是Rt ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，,大前提,小前提,结论,大前提,小前提,结论,所以DM= AB。,同理EM= AB。 所以，DM=EM。,例1.如图所示，在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D，E是垂足。求证：AB的中点M到D，E的距离相等。,证明：,由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前
16、提和小前提。但为了简洁，如果大前提是显然的，则可以省略。,例2 证明函数 上是增函数。,分析：证明本例所依据的大前提是增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1x2，则有f(x1)f(x2).,小前提是f(x)=-x2+2x,x 满足增函数的定义，这是证明本例的关键。,证明：,还有其他方法吗?,想一想?,推理形式正确,但推理结论错误,因为大前提错误。,因为指数函数 是增函数（大前提）而 是指数函数（小前提）所以 是增函数（结论）(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？,注意:演绎推理在大前提,小前提和推理形式都正确的 前提下,得到
17、的结论一定正确.,演绎推理错误的主要原因,（1）大前提不成立；,（2）小前提不符合大前提的条件,演绎推理具有如下特点:,(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中。,(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。,(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。,合情推理与演绎推理的主要区别是什么？,从形式看：,从结论看：,合情推理：归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；,类比是由特殊到特殊的推理。,演绎推理：由一般到特殊的推理。,合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；,演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。,就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。,从作用看：,
