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1、选修4-4 坐标系与参数方程,第一讲 坐标系,一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换：,设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换,的作用下,点P(x,y)对应到点,则称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,二、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线OX，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,三、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示
2、线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。,1、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点M（，）为负极径时的规定：,1作射线OP，使XOP= ,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= ,2、正、负极径时，点的确定过程比较,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的上取一点M，使OM= 3,画出点 （3，/4） 和（3，/4）,给定,在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在
3、这条射线或其反向延长线上描点。,3、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,而反向延长也可以看成是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。,负极径小结：极径变为负，极角增加 。,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。,四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,注意：一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)、,+(2k+1)都可
4、以作为它的极坐标.,如果限定0,02或 ,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,五:极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (,),1.极坐标转化为直角坐标公式：x=cos, y=sin,2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合;,3. 两种坐标系的单位长度单位相同.,注意：互化公式的三个前提条件,1. 极点与直角坐标系的原点重合;,六.特殊曲线的极坐标方程,第二讲 参数方程,一.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 并且对于t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y) 在
5、这 曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数 t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程.,二.参数方程和普通方程的互化,1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般可以通过消去参数而从参方程得到普通方程.,2.如果知道变数x,y 中的一个与参数t的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t) ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致.,注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果
6、用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.。,三.特殊曲线的参数方程,注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。,2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。,（为参数）,（为参数）,1.圆的参数方程,2.椭圆的参数方程（ab）,（为参数）,（为参数）,（为参数）,其中称为离心角,规定参数的取值范围是,3.抛物线的参数方程,o,y,x,),H,M(x，y),经过点 ，倾斜角为 的直线l的普通方程是 而过 ，倾斜角为 的直线l的参数方程为 。,4.直线的参数方程（重点）,直线参数方程中参数的几何意义：t表示直线l上以 定点 为起点，任一点 为终点的有向线段 的数量当点 在 上方时， t0；当点 在 下方时， t0;当点 与 重合时， t=0。 我们也可以把参数 t理解为以 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。,4.参数t的几何意义,选修4-4：P36例1，P37例2,2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab,2.椭圆的参数方程,（为参数）,双曲线的参数方程,说明：, 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.,
