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1、1,（1）平面直角坐标系的伸缩变换（二）极坐标系,x,O,2,y=sinx,y=sin2x,思考：,（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?,坐标对应关系为：,（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。,设点P（x,y）经变换得到点为P(x,y),（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。,设点P（x,y）经变换得到点为P(x,y),注 （1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在同一直角坐标系下进行伸缩变换。,由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成
2、椭圆。,思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？,12,课堂练习（2分钟）课本P8 第4、6题,13,四食堂在什么位置？,14,以超市所在直线为X轴以牛奶棚所在直线为Y轴.,脑子进水了？,15,从这向北走100米。,我知道了。,16,从这向北走100米！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,17,极坐标系与极坐标,极径,极点,极轴,点O,极点,射线Ox,极轴,极径,角,极角,极角,有序实数对,极坐标,逆时针为正角,顺时针为负角,极角是以射线Ox为始边,射线OM为终边的角
3、,用弧度制表示,18,例题解析,例1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点.,由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.,19,例题解析,例2.试写出下列点所对应的极坐标.,一点的极坐标唯一吗？,表示同一点,20,与直角坐标系的联系与区别,极坐标系与直角坐标系的异同是什么？,都是用有序实数对来表示平面上的点.,其中的有序实数对意义不同.,直角系的坐标与平面上点是一一对应的;,极坐标系的坐标与平面上点多对一的;,有没有办法使极坐标与点之间一一对应？,除极点(0, )外，限制,21,探索,已知一点, 与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？,若M的坐标为 ,则
4、M的坐标可以是,22,探索,已知一点, 与它关于极点对称的点如何表示？,若M的坐标为 , 则M的坐标可以是,23,极径的推广,负的极径有意义吗？,“负”的意义是什么？,标准之下,3摄氏度与-3摄氏度.,方向相反,与,与,若M的坐标为 则M的坐标也可以是,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。,24,极坐标系与极坐标,极径,点O,极点,射线Ox,极轴,角,极角,有序实数对,极坐标,逆时针为正角,顺时针为负角,终边上取M,终边反向延长线上取M,25,26,在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位,27,x
5、=cos, y=sin,28,1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.,互化公式的三个前提条件：,29,已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。,30,31,作业：优化方案做到第9页,32,33,点的轨迹,设M(x, y)是直角坐标系内一点, 当M按某种规律在平面内运动时, 所留下的运动轨迹, 反映在图形上就是一条曲线.,所谓某种规律：,M(x, y)坐标之间所满足一定关系式.,某个方程,若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C, 则方程与曲线之间应当满足怎样的关系？,34,曲线与方程,定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方
6、程 之间满足:,曲线C上的点的坐标都是方程的解;,方程的解为坐标的点都在曲线C上;,则称：方程 为曲线C的方程;,曲线C是方程 的曲线.,35,极坐标方程,定义. 在极坐标系中, 如果曲线C和二元方程 之间满足:,曲线C上的点的极坐标都是方程的解;,方程的解为极坐标的点都在曲线C上;,则称：方程 为曲线C的极坐标方程;,曲线C是方程 的曲线.,这样推广合理吗？为什么？,36,问题探索,极轴所在直线的极坐标方程是什么？,曲线上的点的坐标都是方程的解;,方程的解为坐标的点都在曲线上;,极点,符合方程,不符合方程,极坐标的不唯一性导致了上述情况.,这个方程合理吗？,37,极坐标方程,定义. 在极坐标
7、系中, 如果曲线C和二元方程 之间满足:,曲线C上的点的所有极坐标中, 至少有一个是方程的解;,方程的解为极坐标的点都在曲线C上;,则称：方程 为曲线C的极坐标方程;,曲线C是方程 的曲线.,38,求曲线的极坐标方程步骤,1、设点M(,)是曲线上任意一点；,2、根据几何条件建立关于,的方程，并化简；,3、检验并确认所得的方程即为所求。,39,例题解析,例2.求以 为圆心, 半径为 的圆的极坐标方程.,解:,如图所示:,设点P坐标为,即,则,40,例题解析,例3.如图, 求过 , 与极轴夹角为 的直线方程.,解:,则 ,设点P坐标为 ,若点P位于极轴上方,在 中,41,例题解析,例4. 设质点M
8、为射线OA上的动点, 已知M沿 方向作匀速运动, 同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转, 求质点M运动的轨迹方程.,阿基米德螺线,解:,设点M的初始位置为 ,以O为极点, 以射线OM0为极轴,设M的运动速度为v,设OA的角速度为,时间为t, 则有,42,练习 求下图中的圆的极坐标方程,半径都是a,43,44,设两点 ，则由余弦定理得：,极坐标系下两点间的距离公式,O,x,A,B,45,Ex2.3.3 两种坐标的互化,46,引入,已知点的极坐标，如何得到其直角坐标？,例如：,设其直角坐标为 ,47,极坐标直角坐标,则有：,一般地, 设点P是平面上任意一点, 其极坐标为 , 如图建立直角坐标
9、系, 设直角坐标为 ,如何证明？,48,时,P的直角坐标为：,P在极点, 显然成立;,时,P的坐标可改写为,时,则,49,极坐标直角坐标,则有：,一般地, 设点P是平面上任意一点, 其极坐标为 , 如图建立直角坐标系, 设直角坐标为 ,点的极坐标化直角坐标是唯一的。,50,例题解析,例1. 将下列极坐标化为直角坐标：,极坐标,直角坐标,直角坐标,直角坐标,直角坐标,51,直角坐标极坐标,则由：,一般地, 设点P是平面上任意一点, 其直角坐标为 , 如图建立极坐标系, 设极坐标为 ,点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。,52,例题解析,例2. 将下列点的直角坐标化为极坐标：,直角坐标,极坐标,极坐
10、标,极坐标,极坐标,由点所在象限确定极角的值,53,极坐标方程,定义. 在极坐标系中, 如果曲线C和二元方程 之间满足:,曲线C上的点的所有极坐标中, 至少有一个是方程的解;,方程的解为极坐标的点都在曲线C上;,则称：方程 为曲线C的极坐标方程;,曲线C是方程 的曲线.,54,例题解析,例3.化直角组表方程 为极坐标方程.,解:,由 , 得,或者,表示极点，,故所求极坐标方程为,表示 直线,过极点,55,例题解析,例4. 化极坐标方程 为直角坐标方程.,解2,时,由 , 得,时,表示极点, 直角坐标为(0,0),满足上述方程,因此所求直角坐标方程为,解1 由 得,56,练习,1. 极坐标方程 表示的曲线是 .,2. 圆 的圆心的极坐标是 ， 半径是 .,
