第八章玻色统计与费米统计PPT课件.ppt

《第八章玻色统计与费米统计PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章玻色统计与费米统计PPT课件.ppt（48页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第八章 玻色统计与费米统计,8.1 热力学量的统计表达式8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体8.3 玻色-爱因斯坦凝聚8.4 光子气体8-5 金属中的自由电子气体8-6 声 子 系 统,对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。,8.1 热力学量的统计表达式,玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。,非简并条件：,或：,一、非简并气体和简并气体,二、玻色子系统的热力学量的统计表达式,引入巨配分函数：,系统的总粒子数：,取对数得：,在

2、宏观体积内，粒子能量是准连续的,所以，巨配分函数反映了粒子在各能级上的分布规律（分布几率）,1、内能的统计表达式：,2、广义力（物态方程）的统计表达式：,特例：,3、熵,、熵的统计表达式,证明：玻色系统的微观状态数：,、熵的玻耳兹曼关系,二、费米系统热力学量的统计表达式,费米系统，巨配分函数为：,前面得到的热力学量的表达式完全适用：,其对数为：,在宏观体积内，粒子能量是准连续的,三、巨热力学势,（3）代入热力学统计公式求热力学量,量子力学的理论计算获得分析光谱数据获得,小结：求玻色子、费米子量子体系热力学函数的一般步骤,（1）写出 及相应简并度,（2）求粒子的巨配分函数,在宏观体积内，粒子能量

3、是准连续的,Bose气体取“-”，Fermi气体取“+”,推论：,或满足 的条件时，气体称为非简并气体。,1、非简并性气体：满足 的气体。,称 为非简并性条件，或经典极限条件（宏观体积中的量子系统满足此条件）。,定义为系统的退化温度或简并温度,称为粒子的德布罗意波长,即粒子间平均距离远大于德布罗意波波长，可过渡到玻耳兹曼统计,一、关于气体简并性的概念, 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体,实质；温度远高于简并温度时，系统的量子效应不显著。非定域的量子分布可以过度到玻耳兹曼分布。这时气体性质和经典气体相差不大，称为非简并气体。,能级可视为连续，量子效应不显著。可过渡到经典,（粒子间距离）与粒子

4、相联系的德布罗意波,并不重叠，粒子可以分辨，这时相当于定域系，可过渡到玻耳兹曼统计。,即粒子间平均距离远大于德布罗意波波长，可以过渡到玻耳兹曼统计。,2、强简并气体,若 时，气体的量子效应显著，则其与经低昂情况有显著区别。称为强简并气体或退化气体。此时，必须用非定域的量子分布进行研究讨论。,4、弱简并气体：,为简单起见，只考虑分子的质心平动，不考虑其内部运动形式：,在体积V内，在到+d范围内可能的微观状态数：,系统的总分子数：,3、完全简并性气体：T=0K时的气体称为完全简并气体或完全退化气体。,满足 ，但处理问题的过程中，分布 中分母的1不忽略，做近似展开时，一共保留两项，即考虑量子效应的微

5、弱影响，这就是弱简并的本质。,二、弱简并玻色气体和费米气体的热力学性质：,系统的内能：,被积函数的分母可表为：,引入变量：,则上述两式可写为：,两式相除可得：,利用零级近似结果，即玻耳兹曼统计分布的结果：,讨论：1、第一项由玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是量子效应对内能的贡献。 2、弱简并条件下，第二项很小，即由于全同性原理引起的统计关联对内能 的贡献很小，第二项并非运动性质引起而是全同性引起。 3、对费米系：附加内能为正-等效排斥作用-泡利原理； 对玻色系：附加内能为负-等效吸引作用。, 8.3 玻色-爱因斯坦凝聚,一、理想玻色气体的性质,二、化学势 与基态粒子数,化学势由下式决定：,将求和

6、改为积分：,讨论：,关键在用积分代替求和时， 的项被弃掉了。,当 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。,三、矛盾的原因分析,四、玻色-爱因斯坦凝聚,定容热容量为：,实验室测得在 附近 的热容量随温度的变化,气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦自己已意识到这一点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响着，” 由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相

7、互作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。,爱因斯坦的理论为什么当年受批评？,一、紫外灾难,根据能量均分定理来讨论平衡辐射问题，从经典的电磁理论，空腔辐射场可分解为无穷多个单色平面波的叠加，单色波的表达式：, 8.4 光子气体,因此，具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波可以看作是辐射场的一个以 为圆频率的振动自由度。计算体系该自由度的数目就可以利用能量均分定理。,此即为瑞利金斯公式,、光子自旋为1，光子气体是Bose子系统。自旋在动量方向的投影有两个可能的取值 对应于波动观点中，电场有两个偏振，所以光子的简并度g=2.,、将黑体空腔中的辐射电磁场看成光子气体,即： 的单色平面波 的光子

8、。,、光子的静止质量m=0,只能以场能形式出现,在相空间中,体积为V ,光子动量在 区间的相体积内光子的量子态数是,二、黑体辐射的普朗克公式,1、模型,、光子气体的光子数不守恒，即：,2、普朗克公式,任何情况下都是强简并，要用B-E统计处理,由 可得在频率 范围内的量子态数,黑体空腔体积V中， 在频率 范围内的平均光子数是,所以, 在频率 范围内的空腔辐射场的能量是,空腔辐射场的单色能量密度,-黑体辐射的普郎克公式,平衡辐射能密度及其频率分布仅取决于温度，与辐射体其他特性无关。基尔霍夫定律,空腔单位体积内辐射场的单色能量密度, 8.4 光子气体,将关系式 和 代入上式,可将普郎克公式写成,也是

9、辐射场单色能量密度，它只与波长和温度有关，与空腔的材料和形状无关。,（1）在 的长波（低频）范围内，,此即为瑞利金斯公式,（2）在 的短波（高频）范围内，,此即为维恩公式,普郎克公式可近似为：,普郎克公式可近似为：,令 ，上式变为,在温度确定时,令 得,用数值法解出此方程,得 即得：,-维恩（Wien displacement law）位移定律.,3、维恩（Wien displacement law）位移定律,设单位时间从黑体表面单位面积辐射出的波长在 范围内的能量为 ， 叫做黑体表面单色能流密度,4、斯特潘玻尔兹曼定律,如图 是黑体表面(即空腔上的一个小孔)上O点处面积元单位法线矢量. 由于

10、辐射场能量向各方向均匀流出，单位时间流入与矢量 夹角为 的方向的立体角元 内的单色能量是,是真空中的光速, 是球面角,因此， 与 的关系是,将 代入上式，得 ，而辐射场(复色)能流密度,令 得,利用公式 有,上式最后一步利用了 . 将各常数代入上式,得,此即斯特潘玻尔兹曼定律. 由上式可知, 测出物体辐射(复色)能流密度就可以知道它的温度.这就是光测温度计的基本原理,5、空腔中的辐射场内能,辐射场的等容热容量是,8-5 金属中的自由电子气体,Na,Na+,Na+,Na+,Na+,Na+,Na+,e,价电子电离,库仑作用使离子和电离电子（公有化电子）结合成固体。,用平均势场代替周期势。电子吸引离

11、子，排斥其他电子，在周围 形成正电荷云，屏蔽电子间的作用。,初级近似中，把公有化电子看作近独立粒子。自由电子气模型,引言：,经典统计:,一个自由电子对热容量的贡献,实验结果:,常温下，电子热容量与离子相比可忽略。,低温,1、金属中的自由电子模型与经典理论的困难,2、分析：,能量量子化引起？,玻耳兹曼分布适用？,所以，金属中的电子气是强简并气体，必须采用费米统计。,经典理论与实验结果不符合,一、金属中的电子气分布及 计算式,此相体积内的量子态数是,考虑到电子自旋在动量方向上的投影有两个值,在体积为动量大小 范围内的相体积是 ，利用关系式 将此相体积改写为,二、T=0K时自由电子按能量的分布,(1

12、)、费米动量PF,零温时电子占据的最高能级,费米温度,费米球,费米面,Cu,常温,（2）、0k时电子气的内能为：,（3）、0k时电子气体的压强为：,与玻色气体在0K时能量、动量和压强完全不同，费米气体在0K时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。,简并压：来自全同性原理和高密度与电子和正粒子间的静电吸引力平衡,Cu,零温系统处于基态，量子态完全确定。,费米面“模糊化”,三、 但 时的分布,由于 随 按指数规律变化。因此，只在 范围内有明显变化，若 时， 随 的增加或减小迅速趋于零或者1，所以分布如上图所示。,产生这一分布的物理机制： 时微热激发态。但热运动所能提供的能量量级为 ，所以热激发只能

13、将费米能量曲面 附近的电子激发到距它 为附近的能级。,常温下：,四、自由电子气体的热容量,1、定性计算： 由上图可知，仅在 附近 能量范围内的电子参与热激发，对热容量有贡献。其余电子的能量并不随温度变化。,若按经典理论：,故：常温下，电子热容量与离子相比可忽略。,2、热容量定量计算：,所以，电子气体的定容热容量为,低温实验规律,温度愈低，电子贡献愈主要。,2、爱因斯坦固体理论：固体中原子的热运动可以看成3N个独立振子的振动。爱因斯坦假设这3N个振子的频率都相同。 表示振子的圆频率。振子的能级为,由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布。,8-6 声 子 系

14、 统,引言：关于固体的热容量的理论,1、经典理论：应用能量均分定理可得固体的热容量-杜隆-珀蒂定律,在低温范围与实验严重背离。,室温和高温范围与实验符合,配分函数为:,固体的内能为:,第一项是3N个振子的零点能量，与温度无关；第二项是温度为T时3N个振子的热激发能量。,定容热容量,引入受因斯坦特征温度,热激发能,零点能,热容量随温度趋于零的原因可以这样解释，当温度趋于零时，振子能级间距 将远大于kT。由于能量的量子化，振子必须取得 能量才能跃迁到激发态。但在低温下，取得这样大的能量的几率是极小的。因此，平均而言，几乎全部振子都冻结在基态。当固体温度升高时，它们也都几乎不吸收能量，因此对热容量没

15、有贡献。,爱因斯坦模型：低温区实验结果与理论定性符合;定量不符合,当温度很低时，绝缘体的热容以T趋于零，爱因斯坦热容比T更快地趋于零，这与实验偏差较大。成功振子能量量子化，缺陷简正频率相同假设,一、波动观点,1、固体模型、原子在结点位置作空间微振动，原子间存在着强烈的耦合作用。、N个原子，3N个自由度，存在相互关联（作用），不能视为近独立粒子系。原子在结点位置作空间微振动,整体而言形成固体中的格波。、3N个相互关联的自由度，经线性变换，引入简正坐标对角化，可变为3N个近独立的简正振动。相当于3N个独立一维谐振子。,设固体有N个原子，每个原子有3个自由度，则整个固体的自由度为3N. 以 表示第

16、个自由度偏离其平衡位置的位移，相应的动能为 ，势能可以展为位移的幂级数，准确到二级。,因在平衡位置处,经线性变换后，可将上述二次型变为平方和的如下形式：,式中 是 的线性组合，称为简正坐标,、3N个间正振动的能量是量子化的,2、系统配分函数,3、系统的内能,热运动能,固体结合能,简正振动的频率分布？爱因斯坦固体理论：3N个振子的频率都相同，过于简单。且低温区实验结果与理论定性符合;定量不符合。,4、德拜模型：将固体看作连续弹性媒质，3N个简正振动是弹性媒质的基本波动。固体中任意的弹性波都可以分解为3N个简正振动的叠加。对于一定的波矢K,有一支纵波，两支横波,其中vL为纵波声速，vT是横波声速各

17、向同性介质两横波是简并的，即两横波速度相等,由于固体只有3N个简正振动，必须假设存在一个最大的圆频率,在 到 范围内的简正振动模数,、高温下,与经典统计结果相同。,、低温下,在甚低温，热容与T成正比的规律称为德拜定律,德拜理论在对于非金属固体与实验是相符的；金属在温度3K以上也符合T定律，在3K以下不能忽略自由电子对热容量的贡献德拜定律只描述固体热容量的原子部分。,铜热容的实验数据与德拜理论值的比较,在德拜模型中，德拜温度是个重要参量都是间接由实验来确定，方法有二：一是实验确定声速vp；二是测出材料的热容量。,几种晶体的德拜温度 (K),二、粒子观点-声 子 系 统,固体中原子之间有较强的相互

18、作用,每个原子在自己的平衡位置附近振动,引入简正坐标，可变为3N个近独立的简正振动。相当于3N个独立一维谐振子。 N个原子组成的固体就是相当于3N个独立一维谐振子。,按照量子力学, 一维谐振子的能量是,是零点能,德拜(Debye,Peter,1884-1966)把能量子 叫做声子,这样,能量为 的一维谐振子就是一个可被若干个声子填充的以频率 表征的量子态。整个固体就是一个大量声子按频率分布的系统,根据德布罗意波公式, 声子的动量和能量,其中 分别是纵波和横波的波速。所以,在频率 范围内声子量子态数是,设系统(固体)体积为V ,在 范围内, 纵波声子三维量子态数是,横波声子三维量子态数是,频率表征的量子态,每一量子态都有一零点能，具体能量由声子数确定。总量子态数为3N,一个声子量子态中的声子数可取任意自然数,因此, 声子是玻色子,服从玻色分布.随着能量在各个振子之间的交换,各种频率不同的声子在产生和湮灭,系统中的总声子数不守恒,系统化学势为零.所以, 频率为 的一维声子量子态中的平均声子数是,、低温下,、高温下,与经典统计结果相同。,