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1、第四章玻色统计与费米统计,前言,三种粒子系统非简并性条件（经典极限条件）玻耳兹曼统计的成功玻耳兹曼统计的遗留问题,1，金属固体的热容量/低温固体的热容量2，空腔热辐射问题中的“紫外灾难”,第1节 热力学量的统计表达式,回忆：玻耳兹曼统计方法： 1，计算配分函数Z； 2，通过配分函数计算热力学函数,设想：量子统计方法： 1，计算巨配分函数； 2，通过巨配分函数计算热力学函数,一，巨配分函数,考虑玻色分布,则内能,假设,对比两式，则：,ksai：称为巨配分函数,二，平均粒子数和广义力,对比巨配分函数,对于PVT系统,三，熵和因子,说明： 1，对于玻色系统，可通过巨配分函数计算基本热力学函数U, P
2、, S 2，再通过基本热力学函数计算出其它热力学量,四，热力学公式,玻色系统 费米系统,巨配分函数,第2节 弱简并玻色气体和费米气体,什么叫弱简并性气体？简并性气体？非简并性气体？,弱简并性气体的内能有何特点？,在体积V内，d范围内的微观状态数：,则系统粒子数为：,“”表示费米气体，“”表示玻色气体,g表示因自旋引起的状态增加,系统的内能为：,方便推导起见，令x=,考虑,代入N和U的积分，即可得到：,即：,说明：1：在弱简并情况下，内能表达式分为两部分。2：在玻耳兹曼分布的基础上，考虑到系统的弱简并性（此时玻色分布和费米分布不能通过简并性条件利用玻耳兹曼分布的结果），增加了一项附加内能。3：对
3、于费米系统，附加内能为正；对于玻色系统，附加内能为负。,第3节 光子气体,一，空腔热辐射（普朗克公式）,有关概念： 1，“紫外灾难” 2，热辐射，黑体，绝对黑体，黑体辐射，空腔辐射场,光子气体,光子是一种准粒子,其中k称为波矢，是电磁波方向2长度上的波数。,光子的自旋为s=1，为玻色子 .,玻色系统单态平均粒子数：,光子系统有其特殊性,光子系统的平均粒子数,普朗克公式,光子系统的平均粒子数,普朗克公式,普朗克公式的意义,1，瑞利-金斯用传统理论推导出辐射能量正比于,此结论导致“紫外灾难”，并且动摇了经典物理的基础。,2，普朗克公式考虑光能量按h传播量子力学的萌芽。,光子系统的平均粒子数,普朗克
4、公式,普朗克公式极限情况,1，低频,2，高频,瑞利-金斯公式，导致“紫外灾难”,维恩公式，1896年,二，光子气体的热力学量,可根据玻色分布的理论，先求巨配分函数，然后再求热力学量。,第4节 玻色爱因斯坦凝聚,典型的玻色系统光子气体,一般性的玻色系统有什么性质？,一，爱因斯坦凝聚,费米系，温度0K时，粒子不集中在基态玻色系，温度0K时，粒子都处于基态，基态粒子数N0=N,T0K时，N0=N-N。N0与N可相比拟TTc时，N0趋于零，N趋于N反过来，当TTc时，玻色子会向基态凝聚,称为 爱因斯坦凝聚。Tc凝聚温度，临界温度,基态与激发态,发生爱因斯坦凝聚时粒子数的变化,二，化学势,玻色系单量子态
5、上的平均粒子数为,三，基态上的粒子数,而当系统温度大于临界温度时，基态粒子数可忽略不计,四，凝聚温度,五，玻色气体的热容量,六，He4的相变,1938年London用类比的方法解释He4的超流动性1995年实现了碱金属87Rb, 23Na和7Li蒸汽的玻色凝聚。,考虑高温时cv=3/2 NK，结果画在同一个图里，如右所示。,第5节 费米理想气体,一，T=0K时,费米能,第5节 费米理想气体,一，T=0K时,考虑温度为0K时，上面积分的上下限可确定。则：,再考虑粒子数,可计算出费米气体的零点能:,费米能，0K时的粒子化学势.,二，T0K时,三，费米气体的热力学量,四，金属中的自由电子气体,金属模
6、型：离子具有一定的结构，骨架；价电子公有电子，并且考虑电子之间相互作用很弱，以及电子与粒子场受力平均。,对于Cu,Ag,Au,碱金属，每个原子提供一个电子。则：原子数N=自由电子数N；金属体积V=自由电子气体V；金属温度T=自由电子温度T。,五，一些概念：费米能，费米温度，费米动量，费米速度,当TTF时，可认为费米系统处于低温，有些独特的性质. TF 数量级约为104K.,六，金属中自由电子的热容量,回顾：金属的热容量cv=3N0k.其中只包括原子的振动产生的热容量，为什么自由电子不产生热容量的贡献？,受影响的电子数目大约是：,其中TF费米温度，通常金属中大约为104K.,则电子的热容量贡献与
7、原子的相比，可以不计 .,第6节 固体热容量,一：固体热容量的基本实验定律：,1：常温情形：,杜隆伯替定律,相差5%左右。,用能量均分定理可以解释。上一节还介绍了电子气体为什么对热容量不产生作用。,2：低温情形：,实验结果：,而对于绝缘体=0，则项可判断T3为晶格作用产生的热容量。,固体热容量理论：1， 爱因斯坦理论；2，德拜理论。,二：爱因斯坦固体热容量理论：,1：爱因斯坦模型：,N个原子的振动：相当于圆频率为的3N个简谐振动。,量子理论认为：,晶格振动的爱因斯坦模型,2：热容量公式：,设固体温度为T，由N个原子组成，均具有圆频率为，根据爱因斯坦的固体模型，可看成是3N个简谐振动。,其中每个
8、简谐振动的平均能量为：,需要根据不同固体实验测定。习惯上定义爱因斯坦温度E来代替。,3：与实验比较：,当TE时，有：,当TE时，有：,高温符合实验结果：杜隆伯替定律；低温定性符合实验规律cv0。缺点：不能给出T3的规律。,三：德拜理论：,1：德拜模型：修改了爱因斯坦模型。认为3N个振子不以同一频率振动，而各自具有不同的频率1，2，3，每个振子的平均能量为：,总能量为：,从形式上解决了问题，求出U，则：,但1，2，3，均需实验确定，N为极大的数量，全确定不可能。需要用其它方法解决此问题。,则提出了德拜频谱。,2：德拜频谱：,通过低频下的电磁波驻波数目：,普朗克公式在低频下的极限推论。,对于固体，
9、有：,上式中第一项是弹性驻波在d内的横波数目，第二项是纵波数目，不考虑偏振，相同情况下是横波数目的一半。,而总驻波数目为3N，即：,D最大驻波圆频率。由上积分计算得：,则可用D表示g()d为：,德拜频谱。,D德拜频率，是待定参量，习惯上用德拜温度D来表示。,德拜频率测量方法：1，测量驻波速率；2，热容量标定。,3：热容量：,考虑的连续分布，求和变为积分：,代入德拜频谱,其中D(x)称为德拜函数,验证实验结果：,高温时：,低温时：T1，则：,1，试简要说明什么是爱因斯坦凝聚现象？,回答要点：,（1）：对玻色系统而言。,（2）：T较高时，基态N00，激发态N(T)N。,（3）：当TTc（临界温度，
10、凝聚温度），N0(T)随温度T下降而显著增加。当T=0K时，N0(T)=N。,（4）：在T=Tc处发生了相变现象，大量玻色子在动量空间凝聚到动量最低的状态。,2，简要介绍统计物理对固体热容量试验定律的解释。,回答要点：,（1）：实验表明：a,高温时cv=3R（杜隆伯替定律）；b,T0时，cv0；c,且有在低温时，cv与T3成比例。,（2）：经典的能量均分定理，可解释a；,（3）：爱因斯坦利用固体的谐振子模型，解释当T0时，cv0 。但不能给出T3的规律。,（4）：德拜修改了爱因斯坦的单一频率谐振子模型，引入了德拜频谱，成功地解释了实验定律。,3，根据普朗克公式,辐射场的能量密度随频率的分布有极大值m，试证明：,（此结论称为维恩位移定律）,
