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1、二阶系统的时域分析,二阶系统的数学模型,动态结构图,开环传递函数,闭环传递函数,为系统的阻尼比；n为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）,二阶系统的时域分析,二阶系统的闭环特征方程闭环极点,1.当01时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根;系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。,2.当=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。,4.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。,3.当1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。,二阶系统的时域分析,二阶系统的闭环极点,01,=1,1,=0,二阶系统的
2、时域分析,过阻尼二阶系统暂态响应的定性分析,二阶系统的时域分析,过阻尼二阶系统的暂态响应,当1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为,二阶系统的时域分析,过阻尼二阶系统的暂态响应,求反拉氏变换,画出响应曲线：,起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,二阶系统的时域分析,过阻尼二阶系统的暂态响应,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出，当 T1=T2 ，=1 (临界阻尼)时ts=4.75T1； 当T1=4T2，
3、=1.25时，ts3.33T1； 由此可见，当 T14T2，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。,二阶系统的时域分析,临界阻尼二阶系统的暂态响应,当=1时,临界阻尼二阶系统T1=T2,则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为,过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统的暂态响应,当01时, 二阶系统的闭环特征根为,n无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统的暂态响应,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统的暂态响应,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度
4、取决于特征值实部-n的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部d的大小。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统的暂态响应,如果以nt为横坐标相应曲线为：,二阶系统的时域分析,无阻尼二阶系统的暂态性能,如果以=0响应表达式和曲线为：,响应的角频率为n,等幅振荡曲线,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,1.上升时间tr,由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,1.上升时间tr,当n一定时，越小，tr越小；当一定时， n 越大，tr越小。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,2.峰值时
5、间tp,两边求导，并令h(t)=0，得：,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,2.峰值时间tp,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,2.峰值时间tp,当n一定时，越小，tp越小；当一定时， n越大， tp 越小。,tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,3.超调量%,角的定义,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,3.超调量%,所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振荡频率n的大小无关。,二阶系统的时域分析,3.超调量%,%与的关系曲线,增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性
6、和快速性，阻尼比取在0.40.8之间，相应的超调量25%2.5%,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,4.调节时间ts,根据定义,不易求出ts，但可得出nts与的关系曲线,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,4.调节时间ts,值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,4.调节时间ts,当=0.68（5%误差带）或=0.76（2%误差带)调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。 曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。 近似计算时，
7、常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,4.调节时间ts,当0.8时,常把,写成,两边取对数,得：,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,4.调节时间ts,在设计系统时, 通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率n来决定。,可近似表示为：,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标,5.振荡次数N,N的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。,Td为阻尼振荡的周期。,二阶系统的时域分析,欠阻尼二阶系统参数与性能指标之间的关系,二阶系统的时域分析,阻尼比对系统的影响,
8、二阶系统的时域分析,无阻尼系统属于临界稳定系统，不属于稳定系统临界阻尼和过阻尼系统虽无超调量，但反应迟钝欠阻尼系统虽有超调量，但反应迅速因此控制系统就是性能指标之间的均衡，一般设计成欠阻尼系统。阻尼比一般取0.40.8，此时系统反应迅速，而且超调量也不大,结论,阻尼比是二阶系统的一个重要参量，由值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼（1）情况下，暂态特性为单调变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当0 ，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。一般情况下，系统在欠阻尼（01）情况下工作。但是过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，暂态特性品质差。应注意到
9、，最大超调量只与阻尼比这一特征参数有关。因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比 。,二阶系统的时域分析,调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率这两个特征参数的乘积成反比。在阻尼比一定时，可以通过改变自然振荡角频率n 来改变暂态响应的持续时间。n越大，系统的调节时间越短。为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在0.40.8之间，这时阶跃响应的超调量将在1.5%25%之间。,二阶系统的时域分析,二阶工程最佳参数,令,二阶系统的时域分析,二阶系统的时域分析,例题分析,例1:已知单位反馈系统的开环传递函数为,设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器增益KA=200时，系统输出响应的动态性能
10、指标。当KA增大到1500时或减小到KA =13.5，这时系统的动态性能指标如何?,二阶系统的时域分析,例题分析,解:系统的闭环传递函数为:,二阶系统的时域分析,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:,二阶系统的时域分析,由此可见，KA越大， 越小，n越大，tp越小，%越大，而调节时间ts无变化。,系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似处理。,二阶系统的时域分析,把该系统当成大时间常数T的一阶系统来估计,即:,调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：,二阶系统的时域分析,例题分析,KA增大，tp减小，tr
11、减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,二阶系统的时域分析,例题分析,例2：已知某系统方框图如图所示,要求该系统的单位阶跃响应c(t)具有超调量%=16.3%和峰值时间tp=1秒，试确定前置放大器的增益K和内反馈系数之值。,二阶系统的时域分析,例题分析,（2）求闭环传递函数的标准形式,（3）与标准形式比较,二阶系统的时域分析,具有零点的二阶系统的动态性能,如果二阶系统含有一个零点。,为S平面上零点和极点到虚轴距离之比,二阶系统的时域分析,具有
12、零点的二阶系统的动态性能,当a = 时，即为无零点的二阶系统阶跃响应曲线。,当其它条件不变时，附加一个闭环零点：超调量%平稳性上升时间tr快速性峰值时间tp快速性,二阶系统的时域分析,具有零点的二阶系统的动态性能,闭环零点影响瞬态分量的初始幅值和相位； 不影响衰减系数和阻尼振荡频率。,所以：响应曲线的类型取决于闭环极点,具体形状由闭环极点和闭环零点共同决定。,结论：由于闭环传递函数零点的存在，振荡增强。,二阶系统的时域分析,具有零点的二阶系统的动态性能,a附加零点的影响=0.5时，若a 4，则零点可忽咯不计。,附加的闭环零点从左侧极点靠近。,二阶系统的时域分析,具有零点的二阶系统的动态性能,如
13、果在二阶系统中引入一个比例微分控制，则系统变为：,系统输出量同时受偏差信号(t)和偏差信号微分/(t)的双重控制，,所以称为比例+微分校正控制系统,系统开环传递函数和闭环传递函数变为：,二阶系统的时域分析,具有零点的二阶系统的动态性能,变成具有零点的二阶系统,二阶系统的时域分析,具有零点的二阶系统的动态性能,可见，微分系数对系统的影响为：1.闭环负实零点(1/Td) 的主要作用在于加速二阶系统的响应过程(起始段)；2.增大系统阻尼比，超调量减弱；3.合理的取值范围为 1/Td =（25)n。,二阶系统加极点的动态性能,系统传递函数,当 时，特征方程式的三个根为,二阶系统的时域分析,因此得,上式
14、中各项的待定系数为,式中 是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比,二阶系统的时域分析,二阶系统加极点的动态性能,三阶系统的极点分布如下图所示,二阶系统的时域分析,二阶系统加极点的动态性能,输出量的暂态响应为,或,式中,二阶系统的时域分析,二阶系统加极点的动态性能,，以 为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如下图所示,结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时 间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统 的惯性增强了。,二阶系统的时域分析,二阶系统加极点的动态性能,高阶系统的阶跃响应,三阶系统的暂态响应,设三阶系统的闭环传递函数为：,高阶系统的阶跃响应,三阶系统的暂态响应,其中：,高阶
15、系统的阶跃响应,三阶系统的暂态响应结论,1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；,2）附加一个实数极点（0），原二阶系统的单位阶跃响应：超调量 上升时间 峰值时间,高阶系统的阶跃响应,三阶系统的暂态响应结论,1, 即1/Tn 呈二阶系统特性；实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近特性主要取决于p1、p2。,1, 即1/Tn 呈一阶系统特性；实数极点P3距离虚轴近；共轭复数极点p1、p2距离虚轴远特性主要取决于p3。,高阶系统的阶跃响应,高阶系统的单位阶跃响应的近似分析,如果系统极点互不相同,R(s)=1/s,a, aj为C(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数；,bk、c
16、k是与C(s)在极点 处的留数有关的常数。,假设高阶系统的微分方程为,高阶系统的阶跃响应,高阶系统的单位阶跃响应的近似分析,3）极点的性质决定暂态分量的类型； 实数极点: 非周期暂态分量； 共轭复数极点: 阻尼振荡暂态分量。,1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。,2）如果所有闭环极点都在S平面的左半平面，则随着时间t，c()=a ,系统是稳定的。,高阶系统的阶跃响应,高阶系统的单位阶跃响应的近似分析,极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；,高阶系统的阶跃响应,系统零点分布对时域响应的影响,1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态
17、分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。,2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。,高阶系统的阶跃响应,闭环主导极点,定义： （距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。,对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。,在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。,高阶系统的阶跃响应,高阶系统的单位阶跃响应的近似分析结论,（1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 pj及 knk决定。系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。,（2）系数ak 和bk不仅与s平面中的极点位置有关，并且与零点有关。 a.零极点相互靠近，且离虚轴较远，ak越小，对 c(t)影响越小； b.零极点很靠近(偶极子)，对 c(t)几乎没影响； c.零极点重合，对c(t)无任何影响； d.极点pj 附近无零极点，且靠近虚轴,则对c(t) 影响大.,（3）若 时,则高阶系统近似成二阶系统分析.,
