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1、第四章 根轨迹,本章教学目标与要求掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟悉根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负反馈），了解参数根轨迹的含义。了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在与s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制系统分析与设计中的应用。了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。,引言 设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置，并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动，磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化
2、引起的参数变化等。,4.1 根轨迹的基本概念,1948年，根据反馈控制系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出一种由系统开环零、极点的分布确定闭环系统特征方程根的图解方法根轨迹法。这是一种由分析开环系统零、极点在复平面上的分布出发，用图解表示特征方程的根与开环系统某个或某几个参数之间全部系统的方法。它不仅适用于单回路系统，而且也可用于多回路系统。他已成为经典控制理论的基本方法之一，在工程上得到广泛的应用。,4.1.1 根轨迹的概念 根轨迹指的是系统某个参数（如根轨迹增益 或开环零、极点）变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。下面结合图4.1所示系统，说明根轨迹的基本概念。,图4.1 系统结构
3、图,系统开环传递函数为,系统闭环传递函数为,闭环特征方程为,闭环特征根为,（4-1）,（4-2）,（4-3）,上式表明，特征方程的根随着变量K的变化而变化，如果令K从零变化到无穷，可以用解析的方法求出闭环系统极点的全部数值，将这些数值在s平面上标出，并用光滑的线连接，如图4.2所示，图中的粗实线为根轨迹，箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为代表与闭环极点位置相应的K值。,对图4.1所示的例子，在推导特征根和可调参数之间的关系时，根轨迹可用解析法绘制。但对于高阶系统，很难写出特征根与参数之间关系的数学表达式。控制系统分析法的关键就是要有一种简单、实用的根轨迹绘制方法，以便在特
4、征方程根的解析表达式不易写出时，利用根轨迹图分析控制系统的性能。,4.1.2 根轨迹的条件,闭环系统传递函数如图4.3所示,图4.3 闭环控制系统,闭环传递函数为,（4-4）,特征方程为,或,满足上式的s点均为闭环系统的特征根（闭环极点），反过来，根轨迹上的所有点均必须满足式上式。上述式子称为根轨迹的基本方程。上式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数，一般情况下开环传递函数写成零、极点形式为,（4-6）,（4-5）,（4-7）,闭环特征方程为,上式中，分别为控制系统的开环零点和极点，他们可以是复数范围内的任何数。开环传递函数分子有理式的阶数是m，分母有理式的阶数是n。当系统的开环传递函数写成
5、上述形式时，称为根轨迹增益，为参变量，其值从零变化到无穷大。,（4-8）,系统的开环传递函数还可以写成下述时间常数的形式,上式K中称为系统的开环增益。注意K和K*的区别。绘制根轨迹的基本方法就是根据系统的开环零点，极点以及根轨迹增益来获得系统闭环极点的轨迹。因此，通常用（4-8）所示的具有开环零、极点形式的开环传递函数来绘制根轨迹。式（4-8）称为系统的根轨迹方程。,（4-9）,因为G(s)H(s)为复变量s的函数，式（4-8）可表示成模值方程和相角方程,式中,（4-11）,（4-12）,复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足上式的模值条件和相角条件。从上式可以
6、看出，根轨迹的模值增益条件与根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上该点对应的K*值。,4.2绘制系统根轨迹的基本法则,4.1节介绍了根轨迹的基本概念，根轨迹的条件和用解析法和试探法绘制根轨迹的方法。利用解析法和试探法绘制根轨迹对于低阶系统是可行的，但对于高阶系统，绘制过程是很繁琐的，不便于实际应用。本节先讨论以根轨迹增益K*作为参变量时的180和0等相角根轨迹的绘制规则，然后介绍系统其他参数作为参变量时的根轨迹绘制方法。,4.2.1 等相角根轨迹的绘制规则,负反馈控
7、制系统的典型结构图如图4.3所示。其开环传递函数和根轨迹方程式分别如式（4-7）和式（4-8）所示。当根轨迹增益K*大于零时，根轨迹的幅值条件和相角条件分别如式（4-11）和式（4-12）所示。这种情况下绘制的根轨迹称为180等相角根轨迹，下面讨论绘制180等相角根轨迹的基本规则。,规则1 在平面上将系统所有的开环零点以“O”表示，开环极点以“”表示。规则2 根轨迹的分支数，起点和终点。根轨迹的分支数（闭环极点数）与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。根轨迹的分支起始于开环极点，终止于开环零点。分支当K*从零到无穷大变化时，闭环极点在s平面上所形成的轨迹；起
8、点对应于根轨迹上K*=0的点；终点对应于根轨迹上K*=的点。,规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一线段右边的所有开环零极点的总个数为奇数，则这一线段就是根轨迹。规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支趋于无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线）。该渐近线与实轴的交点为,夹角为：,【例4.1】系统开环传递函数为,解 1.系统开环极点p1=0，p2=0，p3=-2，p4=-4，开环零点为在z1=-1。将上述的开环零、极点分别用“”“O”在s平面的直角坐标系中进行标注。2.根轨迹的分支数有4条。对称于实轴，起始点为开环极点，终止点为开环零点和无穷远处。3.实
9、轴上的根轨迹段为-2,-1，-4,-。4.渐近线有n-m=3条，交角为,试根据已知的四个基本规则，确定绘制根轨迹的有关数据。,交点为,图4.6 例4.1渐近线图,规则5 根轨迹在实轴上的分离点和汇合点。两条或两条以上根轨迹分支在复平面上某一点相遇后又分开，则该点称为根轨迹的分离点或汇合点。通常当根轨迹分支在实轴上相交后进入复平面时，习惯上称为该相交点为根轨迹的分离点，反之，当根轨迹分支由复平面进入实轴时，它们在实轴上的交点称为汇合点。,分离点和汇合点的坐标是下式（4-21）或式（4-22）的解,式中,或,其中zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值。,（4-21）,（4-22）,【例4.
10、2】已知单位反馈控制系统的开环传递函数为,计算根轨迹的分离点和汇合点，以及分离点和汇合点处的根轨迹增益。,解 首先将系统写成开环传递函数零、极点的形式,式中,是根轨迹增益。,令A(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,则A(s)=1,B(s)=2s+3。代入A(s)B(s)-A(s)B(s)=0中，得s2+8s+10=0解出上式的根为s1-1.55,s2-6.45。根据规则2，根轨迹在实轴上的分布为-,-4和-2,-1，从而可知s1是实轴上的分离点，s2是实轴上的汇合点。分离点和汇合点处的根轨迹增益分别为：,规则6 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交。则交点上的K*
11、值和值可用两种方法求得。（1）劳斯判据；（2）令闭环系统特征方程中的s=j，并令虚部和实部分别为零而求得。,【例4.3】设系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹。解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。（2）系统的根轨迹有n-m=3条渐进线，渐进线的倾斜角为,取式中的k=0，1，2，得a=/3，5/3。,渐进线与实轴的交点为,三条渐近线如图4-13中的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与1点之间以及2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。（4）确定分离点。由式（4-21）得,解得,由于在1到2之间的实轴上没有
12、根轨迹，故s2=1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为s1=0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一 利用劳斯判据确定闭环特征方程为,劳斯列表为 s3 1 2 s2 3 K*s1 s0 K*由劳斯判据，系统稳定时K*的临界值为6。相应于K*=6的频率可由辅助方程,确定。,解之得根轨迹与虚轴的交点为。根轨迹与虚轴交点处的频率为,方法二 令s=j代入闭环特征方程式，可得,即,令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即,，,有以上规则即可概略绘制出系统的根轨迹图。用MATLAB程序绘制出的根轨迹图如图4.7所示。MATLAB程序为：y=zpk(,0-1-2,1)；rloc
13、us(y),所以,图4.7 例4.3的根轨迹图,规则7 根轨迹的出射角和入射角。开环复极点处，根轨迹的切线与正实轴的夹角为出射角，以 标志；开环复零点处，根轨迹的切线与正实轴的夹角为入射角，以 标志。这些角度可按如下关系式求出,（4-28）,试确定根轨迹离开复数开环极点的出射角和进入复数开环零点的入射角。解 由给出的传递函数知，系统的开环极点为：p1=0,p2=-2.5,p3=-0.5+1.5j,p4；开环零点为z1=-1.5,z2=-2-j,z3=-2+j。先求出射角，作各开环零、极点到复数极点-0.5+1.5j的向量，并测出相应角度，如图4.8（a）所示。按式（4-26）算出根轨迹在极点-
14、0.5+1.5j处的出射角为,【例4.4】设系统的开环传递函数为,根据对称性，根轨迹在极点处的出射角为-79。用类似的方法可算出根轨迹在复数零点-2+j处的终止角为149.5。各开环零、极点到-2+j的向量相角如图4.8（b）所示。,图4.8 例4.4根轨迹的入射角（a）和出射角（b）,规则8 闭环极点之和。系统的闭环特征方程在nm的一般情况下，可以有不同形式的表示,式中，si为闭环特征根。当n-m2时，特征方程第二项系数与K*无关，无论K*取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以开环增益K增大时，若闭环某些根在s平面上向左移动，
15、则另一部分必向右移动。,(1)试确定该系统根轨迹的分支数、起点和终点，并标示系统的起点和终点。(2)实轴上的根轨迹。(3)根轨迹的渐近线。(4)规制系统的根轨迹。解：（1）系统中分子的阶次m=1，分母的阶次n=3，根轨迹分支数为3；,【例4.5】设系统开环传递函数为,（2）确定实轴上的根轨迹：实轴上区域-1，0和-4，-2为根轨迹（3）由规则4确定根轨迹的渐近线：渐近线与实轴的夹角,根据规则2，根轨迹的起点为开环极点，p1=0,p2=-1,p3=-4终点为开环零点z1=-2（有限零点）和无穷零点z2=,z3=。,渐近线与实轴的交点,（4）由以上规则可以绘制出系统的概略根轨迹图。如图4.9是用M
16、ATLAB程序绘制的根轨迹。MATLAB程序为：y=zpk(-2,0-1-4,1)；rlocus(y),图4.9 例4.5题的根轨迹图,综上所述，在给定系统开环零点和极点的情况下，利用本节介绍的绘制根轨迹的基本规则，可以较迅速地绘制出根轨迹的大致形状和变化趋势。如果对某些重要部分的根轨迹感兴趣，比如靠近虚轴和原点附近的根轨迹，可根据相角条件精确绘制。需要说明的是，根据系统的不同，绘制系统的根轨迹不一定要用到全部绘制规则，有时只用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。,4.2.2 0根轨迹的绘制规则,自动控制系统主反馈都是负反馈，但在复杂系统中可能存在着局部的正反馈回路。一方面组成系统的某些部分本身
17、可能具有正反馈结构；另一方面在特定的情况下，正反馈可以被用来改善系统的性能。众所周知正反馈回路本身一般不稳定，局部闭环有位于右半s平面的极点，这时绘制的根轨迹称为0根轨迹。还有一种情况就是控制系统为非最小相位系统，而且非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子，根轨迹也是0根轨迹。0根轨迹的绘制方法，与180根轨迹的绘制方法略有不同。以正反馈系统为例，如图4.11所示，其中内回路采用正反馈，这种系统通常由外回路加以稳定.,图4.11 具有正反馈内环的系统结构图,正反馈回路的闭环系统传递函数为,于是，得到正反馈系统的根轨迹方程,一般情况下正反馈内环的开环传递函数写成零、极点形式,上式可以等效
18、为下列两个方程,前者称为0根轨迹的相角条件，后者叫做0根轨迹的模值条件。,与180根轨迹的幅值条件和相角条件相比较，两者的幅值条件相同，而相角条件不同。因此，180常规根轨迹的绘制规则，原,则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但在与相角条件相关的一些规则中，需作适当的调整。需要调整的根轨迹的规则如下：规则3中根轨迹在实轴上的分布应改为：若实轴上某一线段右边的所有开环零极点的总个数为偶数，则这一线段就是根轨迹。规则4中渐近线的交角应改为,（4-29）,规则7中根轨迹的出射角和入射角应改为：,除上述三个规则外，其他规则不变。,（4-30）,（4-31）,【例 4.6】非最小相位系统如图4.12所示，试
19、绘制系统的根轨迹图。,图4.12 例4-7的系统结构图,解 系统的开环传递函数为,其中：,根据零度根轨迹的绘制规则绘制根轨迹规则1 在图4.13中分别用“”和“O”分别标识开环极点和开环零点。,图4.13 例4-7系统的根轨迹图,规则2 根轨迹的分支数为2；起始点为p1=0，p2=-1；终止点为z1=0.5和无限零点。,规则3 确定实轴上的根轨迹为-1,0和(0.5,+)规则4 根轨迹的渐近线为n-m=1条，其交角为,说明渐近线与实轴重合。规则5 为求根轨迹的分离点和汇合点，令A(s)=s-0.5，B(s)=s(s+1)，代入A(s)B(s)-A(s)B(s)=0中，整理后解出上式的根为s1=
20、-0.365,K1*=0.268 为分离点;s2=1.365，K2*=3.73 为汇合点,将s=j代入上式闭环特征方程并整理得,规则6 确定根轨迹与虚轴的交点。,闭环系统特征方程为：,令实部，虚部分别为零，得：,根轨迹与虚轴的交点为,对应的临界根轨迹增益为,系统的稳定范围为,或,4.2.3 参量根轨迹,上面两节介绍的根轨迹的基本绘制规则，是以根轨迹增益K*作为参变量而得出的，这种在实际中最常见，但有时需要研究根轨迹增益K*以外的其他参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等对系统性能的影响。这种根轨迹称为参变量根轨迹，又称为广义根轨迹。,如果选择其他参数，如某一参数A为可变量时，用特征方程中不
21、含A的项除以特征方程得到如下形式,系统的开环传递函数为,闭环系统的特征方程为,等效开环传递函数中A的位置与原开环传递函数中K*的位置相当，这样就可按前述绘制以K*为参变量的方法来绘制以A为参变量的根轨迹。,则,为等效开环传递函数，即,试绘制K=6，T从零到无穷大变化时系统的根轨迹。解 系统特征方程为,【例4.7】已知系统开环传递函数,除以特征方程，得：,其中，K=6T,由于K所处的位置与G(s)H(s)中K*所处的位置相当，可以按以K*为参变量绘制根轨迹的方法来绘制以K=6T为参变量的根轨迹。,等效开环传递函数为,当K=6时,根据前面介绍的绘制规则可得系统的根轨迹如图4.14所示。,图4.14
22、 例4.7 系统的根轨迹,4.3用根轨迹法分析系统的性能,应用根轨迹法，可以迅速确定系统在根轨迹增益或某一其它参数变化时闭环极点的位置，从而得到相应的闭环传递函数。同时可以较为简便地计算（或估算）出系统的各项性能指标，包括系统的稳定性、瞬态和稳态性能指标。系统的稳态性能即稳态误差，与系统的型别和开环增益有关，它们均可从根轨迹中得到。从而求出系统对给定输入的稳态误差。关于系统的动态性能，通过下面几小节讨论。,4.3.1 增加开环零、极点对根轨迹的影响,由于根轨迹是由系统的开环零、极点确定的，因此在系统中增加开环零、极点或改变开环零、极点在平面上的位置，都可以改变根轨迹的形状，从而校正系统性能。实
23、际上，增加开环零点就是在系统中加入超前环节，产生微分作用，改变开环零点在平面上的位置就是改变微分强度。同理，增加开环极点就是在系统中加入滞后环节，它产生积分作用，改变开环极点在平面上的位置，就可以改变积分强弱。,如果在系统中分别加入一对复数开环零点-24j或一个实数开环零点-4，则系统开环传递函数分别成为,1.增加开环零点对根轨迹的影响,设开环传递函数为,其根轨迹如图4.15（a）所示,和,对应的根轨迹分别如图4.15（b）和图4.15（c）所示的根轨迹，可以看出。加入开环零点后可以减少渐近线的条数，改变渐近线的倾角；随着K*的增加，根轨迹的两个分支向s左半平面弯曲或移动，这相当于增大了系统阻
24、尼，使系统的瞬态过程时间减小，提高了系统的相对稳定性。另外，加入的开环零点越接近虚轴，系统的性能越好。上述结论可以从这三个系统的单位阶跃相应曲线上得到印证，如图4.15（d）所示。图中绘出了当K*=4时三个系统的单位阶跃响应，曲线1、2和3分别为原系统，加入开环零点-24j和-4以后系统的单位阶跃响应曲线。可见增加合适的开环零点，可以改善系统的性能。,系统的闭环传递函数分别为,和,（a）原系统的根轨迹图,（b）加开环零点-24j后系统的根轨迹图,（c）加开环零点-4后系统的根轨迹图,（d）系统单位阶跃响应曲线,图4.15 增加开环零点后系统的根轨迹及其响应曲线,同样利用上例进行讨论。在原系统上
25、分别增加一对复数开环极点24j和一个实数开环极点-4，则系统的开环传递函数分别为,2.增加开环极点对根轨迹的影响,和,系统的闭环传递函数分别为,和,对应的根轨迹分别如图4.16（a）所示。,（a）增加开环极点-2+-4j后的根轨迹,（b）增加开环极点-4后系统的根轨迹,（c）系统单位阶跃响应曲线,图4.16 增加开环极点后的系统的根轨迹及其响应曲线,将图4.16（a）和（b）与原始系统根轨迹图4.15（a）相比较，可以看出，加入开环极点后增加了系统的阶数，改变了渐近线的倾角，增加了渐近线的条数。随着K*的增加，根轨迹的两个分支向s右半平面弯曲或移动，这相当于减少了系统的阻尼，使系统的稳定性变差
26、。另外，由于加入的开环极点和K*的不同，系统的闭环主导极点也将不同，系统的性能也会有所不同。对于稳定的系统，闭环主导极点越远离虚轴，即闭环主导极点的实部绝对值越大，系统振荡越严重，从而系统超调量增大，振荡次数增多，引起系统的调整时间增加。,通过选择合适的K*值，配置出合理的闭环主导极点，就可以获得满意的性能指标。原系统和上述两个闭环系统的单位阶跃响应曲线曲线如图4.16（c）所示。图中绘制了当K*=4时各个系统的单位阶跃响应曲线，曲线1，2和3分别为原系统，增加开环极点-24j和-4后系统的单位阶跃响应曲线。比较图中的曲线1和3，可以明显看出系统1的超调量大，振荡激烈，而调整时间短。表明当K*
27、=4时系统1的主导极点的实部绝对值大于系统3的实部绝对值，其虚部绝对值也大于系统3的虚部绝对值。,通过上面的讨论，可以得到上述结论（1）控制系统增加开环零点，通常使根轨迹向左移动或弯曲，使系统更加稳定，系统的瞬态过程时间缩短，超调量减小。（2）控制系统增加开环极点，通常使根轨迹向右移动或弯曲，使系统的稳定性降低。系统的瞬态过程时间增加，超调量以及振荡激烈程度由系统的主导极点决定。,4.3.2 利用根轨迹法分析参数调整对系统性能的影响,根轨迹分析法和时域分析法是一样的，都可以用来分析系统的性能。根轨迹分析法采用的是图解的方法，与时域相比，避免了繁琐的数学计算，而且直观。典型二阶系统的特征参数，闭
28、环极点在复平面上的位置以及系统性能之间有着确定的对应关系。由根轨迹图可以清楚的看出参数变化对系统性能的影响。所以在对有主导极点的高阶系统，使用根轨迹法对系统进行分析更加简便。一般先确定系统的主导极点，将系统简化为以主导极点为极点的二阶系统（或一阶系统），然后再根据二阶系统（或一阶系统）的性能指标进行估算。,式中，为闭环极点实部的大小，即闭环极点离开虚轴的距离。,闭环二阶系统的主要瞬态性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点位置的关系如下：,试判断闭环极点-1.202.08j是不是系统的主导极点。若是，试估算该闭环系统的超调量和调整时间。,【例4.8】考虑导弹航向控制系统，其开环传递函
29、数为,解 绘制系统的根轨迹如图4.19所示。,（1）判断闭环极点-1.202.08j是不是系统的主导极点，先判断该闭环极点是否是根轨迹上的点，由相角条件得,可知-1.202.08j是根轨迹上的点。,图4.17 例4.8的根轨迹图,然后，再判断-1.202.08j是否是闭环主导极点。根据根轨迹绘制规则：“系统开环极点之和等于系统闭环极点之和”，令系统的另一个闭环极点为s3，则,解得s3=-7.6。由，可知-1.202.08j是系统的复数主导极点。闭环极点分别如图4.17所示。,由图4.17可知，时系统的阻尼角为。则系统的超调量为，调整时间为,（2）估算系统的性能指标 系统的闭环传递函数为,化简为
30、,4.3.3 利用根轨迹法分析参数调整对系统性能的影响,节介绍了从根轨迹图了解参数变化对系统性能的影响，反过来，二阶系统或具有共轭复数闭环主导极点的高阶系统通常可以根据瞬态性能指标的要求，在复平面上画出使系统满足性能指标要求的闭环极点（或高阶系统的闭环主导极点）所处的区域。即允许区域，如图4.18阴影部分所示。位于该区域内的闭环主导极点使瞬态性能满足,图4.20 主导极点允许区域分布图,（1）试确定使闭环系统稳定时的根轨迹增益K*的范围；（2）若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量,试确定根轨迹增益K*的范围 解 系统的根轨迹如图4.21所示。（1）根轨迹与虚轴的交点为5j，对应的根轨迹增益为Kc
31、*=240，要使系统稳定，根轨迹的增益范围应该为K*240。,【例4.9】控制系统如例4.8所示,（2）由于，而当 时，解得阻尼 角。在根轨迹图4.19上画两条与负实轴夹角为 的直线，与根轨迹交于A、B两点。由上例知A、B两点是闭环共轭主导极点。这时系统的超调量等于16.3%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益K*。设A点的坐标为，则,即A点坐标为sA=1.2+2.08j。由例4.8知这时的根轨迹增益K*=44。若要求超调量，则K*的取值范围为。通常，在对系统提出超调量要求的同时，又提出调整时间的要求。这时，应在如图4.18所示的阴影区域内寻找满足要求的参数。若在该区域内没有根轨
32、迹，则不能满足提出的要求。应在系统中加入适当的校正环节，使根轨迹进入该区域。然后确定满足要求的闭环极点位置及相应的系统参数。,根据相角条件有,解上述两式得,图4.19 例4.9的根轨迹图,4.4习题精解及MATLAB工具和案例分析,（1）绘制系统的根轨迹图（2）确定使复数闭环主导极点的阻尼系数=0.5的K*值。,4.4.1 习题精解,【例4.10】已知单位负反馈控制系统的闭环传递函数为：,1.在图4.22中分别用“”和“O”分别标识开环极点和开环零点。2.根轨迹的分支数为3；起始点为p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-14；无限零点即无穷远处。,解：（1）系统的闭环特征方程为,系统的等效开
33、环传递函数为,3.确定实轴上的根轨迹为(-，-14.4.根轨迹的渐近线为n-m=3条，其交点为,交角为,6.与虚轴的交点：将s=j代入系统的闭环特征方程，令其实部，虚部都为零，可得,5.分离点为：,解之得：d1=-9.63(舍去)，d2=-1.04(舍去),解之得：=5.48，K*=452。,（2）设闭环主导极点为,由根之和可得,即,得系统的闭环特征方程为,根据题知系统的闭环传递函数为,即：使得复数闭环主导极点的阻尼系数=0.5的K*值为K*=21.48。利用MATLAB软件绘制根轨迹的程序如下：num=1;den=conv(1,14,1,2,2);rlocus(num,den),axis(-
34、16,2,-8,8);,比较上面两个式子可得,图4.20 例4.10 系统的根轨迹,图4.21MATLAB界面下的系统根轨迹图,【评注】将闭环传递函数化为开环传递函数的首一零极点形式，对于高阶系统，应先确定系统的主导极点，再确定其余的闭环极点，从而求得要求的参数值。,解：（1）根轨迹基本情况分析。开环传递函数的3个极点为0，0和-a，1个零点为-1.所以实轴上的根轨迹在区间-a,-1之内。根轨迹有3支，其中两只趋向无穷远处。因此在区间-a,-1间可能有分离点，汇合点。（2）求分离点，汇合点的存在条件。特征方程可以改写成,【例4.11】已知反馈控制系统的开环传递函数为,试分别画出a=10，9，8
35、和1时的系统的根轨迹。,由,，得,经整理得方程,解得,所以分离，汇合点存在的条件是,即,或,（3）a=109的情况。此时的分离，汇合点为s1=-4,s2=-2.5。根轨迹如图4.22所示。,MATLAB程序为num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,10);rlocus(num,den),axis(-10,2,-6,6);（4）a=9的情况。此时的分离，汇合点s1=-4,s2=-2为根轨迹如图4.23所示。MATLAB程序为num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,9);rlocus(num,den),axis(-10,2,-6,6);,图4.22
36、例4.11根轨迹图（a=10),图4.23 例4.11根轨迹图（a=9),（5）a=8的情况。此时没有分离，汇合点。根轨迹如图4.24所示。MATLAB程序为num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,8);rlocus(num,den),axis(-10,2,-6,6);（6）a=1的情况，此时极点和零点相消，开环传递函数化简为。如图4.25所示，根轨迹是与虚轴重合的直线。不过需要注意的是，尽管位于-1的极点和零点相消，但并不意味着系统已经失去这些极点和零点。开环系统中可以相消的极点和零点永远是闭环系统的极点和零点。所以根轨迹的第3支退化成位于-1的一个点。,图4.24
37、例4.11根轨迹图（a=8),图4-25 例4.11根轨迹图（a=1),MATLAB程序为num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,1);rlocus(num,den),axis(-10,2,-6,6);,【评注】在可变参数的某些变化区间，参数微小的变化可能导致根轨迹很大的变化。本例参数在附近变化时，根轨迹就有根部的不同。在徒手画概略根轨迹时，适当的时候需要代入几个试验点核实一下。,4.4.2 案例分析及MATLAB应用,在本章引言中提到的计算机磁盘读取控制系统，在第三章，我们已经讨论了磁盘驱动器对干扰和参数变化的响应特性，讨论调整放大器增益Ka时，系统对阶跃信号的瞬态响
38、应和稳态误差，以及加入速度反馈传感器时，调整放大器增益Ka和速度传感器传递系数K1时，系统对阶跃信号的瞬态响应和稳态误差。这章我们用PID控制器来代替原来的放大器，以便得到所期望的响应。PID控制器参数的选取利用本章学习的根轨迹法来设计。图1.1是磁盘驱动系统的示意图。,因为对象模型G1(s)中已经包含有积分环节，所以应取Ki=0，这样PD控制器的传递函数为：,PID控制器的传递函数为,本例的设计目标是确定Kp和Kd的取值，以使系统满足设计规格要求。图4.26是带PD控制器的磁盘驱动器控制系统结构图。,图4.26 带PD控制器的磁盘驱动器控制系统结构图,当N(s)=0,R(s)=1时，有,系统
39、的开环传递函数为,其中,。,我们先通过选择Kp来选择开环零点z的位置，再画出变化Kd时的根轨迹。通过观察系统的极点，以及根轨迹图的绘制规则可以得出，z的取值有三个分布范围，01000。下面我们分别取z=10，z=500，z=2000这三种有代表性的特殊情况绘制系统的根轨迹，如图4.27（a）（b）（c）所示。通过图可以看出，当时，系统时不稳定的，因此我们在设计时要保证z1000。z=1000是临界状态，根轨迹如图4.27（d）所示,通过上面的分析，这里可取z=40，系统的开环传递函数为,用MATLAB语句输入num=5000*1,40;den=conv(1,0,conv(1,20,1,1000
40、);rlocus(num,den),K,poles=rlocfind(num,den)执行以上程序，并移动鼠标到根轨迹与虚轴的交点处，单击鼠标左键后可得到如图4.28所示的根轨迹和如下结果。,(a)z=10时的根轨迹图,(b)z=500时的根轨迹图,(c)z=2000时的根轨迹图,(d)z=1000时的根轨迹图,图4.27 不同极点时系统的根轨迹图,图4.28 z=40时系统的根轨迹图,Select a point in the graphics windowselected_point=-8.5907e+002+7.1054e-015iK=25.0000poles=-857.7488-108
41、.5510-53.7002,可知Kd=25对应的特征根为s1=-857.7488,s2=-108.5510,s3=-53.7002。同样我们可以利用MATLAB来确定不同特征根对应的Kd值。,在Simulink窗口中建立系统的仿真结构图如图4.29所示,图4.29 带PD控制器的磁盘驱动读取系统仿真结构图,此时，系统的输入R(s)=1，N(s)=0,选Kp=1000,Kd=25时系统的响应曲线为如图4.30所示；当输入R(s)=0,N(s)=1时，系统对单位扰动的响应曲线如图4.31所示。,图4.30 Kp=1000,Kd=25时系统响应,图4.31 Kp=1000,Kd=25时系统对单位扰动
42、的响应,M=(max(y)-1)/1)*100;disp(最大超调量M=num2str(M)%);a=length(y);while y(a)0.98 disp(上升时间t=num2str(t)s)执行以上程序得到系统的性能指标：最大超调量M=0.001982%上升时间t=0.087754s,当R(s)=1,N(s)=0,运行Simulink模块后，在MATLAB命令窗口中输入,R=min(y);disp(单位扰动最大响应R=num2str(R)单位扰动最大响应R=-0.00020003。由此可以得到性能指标如表3-2（误差带取2%）满足要求。,当R(s)=0,N(s)=1,运行Simulink模块后，在MATLAB命令窗口中输入,表4.1 带PD控制器的磁盘驱动器系统的性能,
