信息与通信随机变量与随机分布课件.pptx

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1、2022/11/27,1,3.1 随机变量和随机分布概述,活动的分类,（1）确定性活动（deterministic activity）,活动的变化规律已知，活动结果可以准确预计，在一定条件 下活动可以准确地再现和重复，或由根据过去状态可以准确 预见活动的未来进展。,例如：重物的自由落体运动，炮弹的运行轨迹及落点等都可 以根据相关公式进行计算。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,2,3.1 随机变量和随机分布概述,（2）随机性活动（stochastic activity或probabilistic activit

2、y）,活动的结果难以准确预见，即使在相同的条件下进行重复 试验，每次试验的结果未必相同，或者由过去状态不能确 定相同条件下活动的未来发展趋势。,例如：抛掷硬币时，每次硬币是正面向上还是正面向下； 南京长江大桥每一时段汽车的通行量；百货商店内不同时 刻到达的顾客人数；从一批相同型号齿轮中任意抽取一个 齿轮，测量它在一定条件下的工作寿命；某型号发电机组 每次的大修时间等。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,3,3.1 随机变量和随机分布概述,对于随机性活动，我们可以定义一个变量，以变量的不同 取值表示活动的不同结果

3、，并通过统计确定变量取不同数 值的概率，将这类变量称为随机变量（random variable或 stochastic variable）。,根据取值是否连续，随机变量可分为离散型随机变量和连 续型随机变量。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,4,3.1 随机变量和随机分布概述,3.1.1 离散型随机变量,若随机变量的取值为有限个数值或为可以逐一列举的无穷 多个数值，则称此类随机变量为离散型随机变量 （discrete random variable）。,设离散随机变量X所有可能的取值为x1、x2、xn、， 并

4、且所有可能取值的概率分别为p1、p2、pn、，则 将xi，pi（i=1，2，n，）配对的集合称为随机 变量X的概率分布（probability distribution），并将 P=p1，p2，pn，称为随机变量X的概率质量函数 （probability mass function，pmf）。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,5,3.1 随机变量和随机分布概述,概率质量函数满足以下条件：, pi 0（i=1，2，n，）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technolo

5、gy,2022/11/27,6,3.1 随机变量和随机分布概述,设F（x）为离散型随机变量的累积分布函数（cumulative distribution function，cdf），它表示X小于或等于某 个给定值xi（i=1，2，n，）的概率函数：,累积分布函数具有以下特性：, F（x）为单调递增函数，即当xy时，有F（x）F（y）。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,7,3.1 随机变量和随机分布概述,例如，某班有40名学生，现对某门课程考试成绩X进行统计分析， 其中优秀A（x90分）为5人、良好B（80 x

6、90）为16 人、中等C（70 x80）为12人、及格D（60 x70）为5 人、不及格E（x60）为2人，绘制课程成绩分布直方图、 绘制成绩的概率分布和累积分布函数。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,8,3.1 随机变量和随机分布概述,3.1.2 连续型随机变量,若随机变量X可以在某个数值区间内连续取任一数值，则称 之为连续型随机变量（continuous random variable）。,由于X的取值为无穷多个点，我们无法定义X在某一个数值点 的概率，只能考察X落入某个子区间内的概率。,X的概率密度函数

7、（probability density function，pdf）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,9,3.1 随机变量和随机分布概述,f（x）需满足以下条件：,F（x）为连续型随机变量的累积分布函数（cdf），它表示 随机变量小于或等于x的概率：, 当x1x2时，有F（x1）F（x2）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,10,3.1 随机变量和随机分布概述,要求绘制均匀分布U（a，b）的概率密度函数f（x）曲线和累积分布函

8、数F（x）曲线 。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,11,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,12,3.1 随机变量和随机分布概述,3.1.3 随机变量的数字特征,概率函数、概率密度函数以及累积分布函数等反映了随机 变量的某些概率特征。但是，在工程实际中，往往存在以 下情况：, 无法了解或无需知道随机变量准切的概率特征； 只能得到或只需利用随机变量的具有代表性的数值。,此时，仅靠概率函数、概率密度

9、函数和累积分布函数等参数还不足以反映随机变量的某些特性。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,13,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,14,3.1 随机变量和随机分布概述,也称数学期望值（expectation或expected value），或随 机变量的一阶矩（the first moment） 它是指随机变量取值的平均数，表示随机变量取值的集中 程度。一般以E（X）或表示。,1平均值（mean

10、或mean value）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,15,3.1 随机变量和随机分布概述,若某一随机变量的方差为0，则表示该随机变量没有偏差， 此时随机变量退化为一个确定值。因此，确定性变量可认为 是方差为零的随机变量，是随机变量的一种特殊形式。,2方差和标准差（variance）,方差的定义为：,表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,16,3.1 随机变量和随机分布概述,方差的单

11、位是随机变量单位的平方。为了保持与随机变量单位的一致性，常以方差的平方根作为衡量分散性的尺度。将方差的平方根称为随机变量的标准差（standard deviation），通常以表示，即：,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,17,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,18,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,20

12、22/11/27,19,3.1 随机变量和随机分布概述,为了更好地描述随机变量的分散程度，引入变异系数的概 念，也称变化系数或变差系数。变异系数是指随机变量的 标准差与平均值的比值，即：,3变异系数（coefficient of variation）,由于标准差与平均值的量纲相同，变异系数是无量纲量， 它不受数据量纲的影响。变异系数的数值越小，则随机变 量的分散性越小。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,20,3.1 随机变量和随机分布概述,模数也称众数，它是指随机变量的频率（或频数）取得某 个峰值时的随机变量

13、的值。 当随机变量的概率密度函数有多个峰值时，通常取最大峰 值作为随机变量的模数。 对于离散型随机变量，观测值出现最多的数即为模数；对 于连续型随机变量，模数是指概率密度函数为极大值时的x 值，即概率密度函数峰值所对应的x值。,4模数（mode number）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,21,3.1 随机变量和随机分布概述,中间值也称中位数。 对于随机变量X，若存在一个点xm使得随机变量的一半数值 落在该点以下，则称xm点为随机变量的中间值，即与F（x） =0.5相对应的点。 也可以由累积分布函数曲线求

14、得随机变量的中间值。 (how to calculate?),5中间值（medium value）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,22,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,23,3.1 随机变量和随机分布概述,3.1.4 常用随机分布类型及其特性,根据参数的物理意义和几何意义，可以将分布参数分为： 位置参数（location parameter） 比例参数（scale parameter） 形状

15、参数（shape parameter）,也称为位移参数，它确定分布函数在横坐标（x轴）的取值 范围。当位置参数发生变化时，分布函数在横坐标的位置 上会向左或向右发生偏移，而它的范围或形状不发生变化。,（1）位置参数,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,24,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,25,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of

16、 Technology,2022/11/27,26,3.1 随机变量和随机分布概述,比例参数用于确定在分布范围内取值大小的比例尺度。 当比例参数的数值改变时，分布函数被压缩或扩张，分 布的范围发生改变，但分布的基本形状不会改变。,（2）比例参数,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,27,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,28,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefe

17、i University of Technology,2022/11/27,29,3.1 随机变量和随机分布概述,形状参数用来决定分布函数的基本形状，改变分布函数的 性质。 形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立。 与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变 分布的形状。 一些分布（如正态分布、指数分布等）没有形状参数；另 一些分布（如分布、威布尔分布等）具有形状参数。,（3）形状参数,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,30,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei

18、 University of Technology,2022/11/27,31,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,32,3.1 随机变量和随机分布概述,广义分布和Weibull分布都是三参数分布，由于具有形状 参数，它们具有很强的数据拟合能力。通过改变参数数值， 可以模拟其它分布或具有与其它分布相类似的属性。 分布可以用来模拟威布尔分布或正态分布； 当形状参数=1时，威布尔分布演化为指数分布； 当=3.43954时，威布尔分布接近于正态分布。,Jiang Zengqiang, H

19、efei University of Technology,2022/11/27,33,3.1 随机变量和随机分布概述,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,34,3.2 随机数的生成方法,3.2.1 随机数的特性,随机数（random numbers）是随机变量的取样值，它是离 散事件系统仿真的基础和必备的建模元素。 任何离散事件系统仿真程序或模型都必须具备能够产生指定 分布的随机变量生成模块或子程序。 运行仿真程序或模型，当用户赋予某一随机变量以确定参数 的分布时，仿真系统就调用和生成相应的随机变量，以便再 现

20、系统的随机特征。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,35,3.2 随机数的生成方法,其中，产生0，1区间上均匀分布的随机数是产生随机变 量的基础，其它类型分布（如正态分布、分布、分布、 指数分布等）都是在0，1均匀分布的基础上通过一定变 换实现的。 鉴于0，1区间均匀分布随机数在系统仿真中的重要性， 通常将生成这种类型随机数的算法或程序称为随机数发生 器（random number generator）。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/

21、11/27,36,3.2 随机数的生成方法,仿真程序中的随机数序列必须具有以下统计特性： 均匀性（uniformity）：随机变量在其可能取值范围中任一 区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正 比。 独立性（independence）：在某个区间内一个观测值发生 的概率与先前已有的观测值结果无关。,仿真程序中常根据确定的递推公式近似地生成随机数。这些 随机数并不能严格地满足“均匀性”和“独立性”准则，不 是真正的随机数，又能在某种程度上表现出随机性，常称之 为伪随机数（pseudo random number）。,Jiang Zengqiang, Hefei University

22、of Technology,2022/11/27,37,3.2 随机数的生成方法,随机数发生器的评价指标：,（1）随机性（randomness）,（2）长周期（long period）,（3）可再现性（reproducibility）,（4）高计算效率（high computational efficiency）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,38,3.2 随机数的生成方法,（1）中值平方法,随机数发生器的设计,（3）混合同余法,（2）线性同余法,（4）乘同余法,（5）组合法,Jiang Zengqiang

23、, Hefei University of Technology,2022/11/27,39,3.2 随机数的生成方法,产生0，1区间上均匀分布的随机数是生成随机变量的基础。 其它类型的分布，如正态分布、分布、分布、泊松分布等， 都可以通过对0，1区间均匀分布的转化来实现。,用于产生0，1区间均匀分布随机数的专门程序称为 随机数发生器（random-number generator）,随机数发生器应具备的特点：, 随机性（randomness） 长周期（large period） 可再现性（reproducibility） 计算效率高（computational efficiency）,Jia

24、ng Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,40,3.2 随机数的生成方法, 线性同余法（linear congruence）：,式中，m为模数（modulus） a为乘数（multiplier） c为增量（increment）,其中，Z0为种子数，由上式产生一系列数Z1， Z2，, Zi； 令UiZi/m得到区间0，1上的随机数Ui（i1，2，）,3.2.2 随机数发生器的设计,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,41,3.2 随机数的生成方法

25、,线性同余法举例（m=24， a=13，c17，Z05）,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,42,3.2 随机数的生成方法,线性同余法的代码实现：,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,43,3.2 随机数的生成方法,线性同余法的缺点：,Ui并不是真正意义上的均匀分布随机数；,当模数m较小时，Ui只能取到有限个数值。为取得近似均匀分 布的数值，m通常取得很大（如m109）。,由于Ui只能取到有限个数值，随机数发生器会出现周期性。,J

26、iang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,44,3.2 随机数的生成方法, 混合同余法（Mixed congruence）, 乘同余法（Multiplicative congruence）, 取小数法,取小数法又可分为平方取小数法和开方取小数法。,平方取小数法：将前一次随机数平方后的数，取其小数点后第 一个非零数字后面的尾数作为下一个所求的随机数。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,45,3.2 随机数的生成方法,开方取小数法：将前一次随

27、机数开方后的数，取其小数点后 第一个非零数字后面的尾数为下一所求随机数。,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,46,3.2 随机数的生成方法,随机数发生器的检验：, 参数检验：检验该随机分布的参数估计值与0，1均匀分布的 参值（或称理论值）的差异是否显著。, 独立性检验：检查随机数序列u1，u2，un前后各项的统计 相关是否显著。, 均匀性检验（频率检验）：检查随机数序列u1，u2，un的 实际频率与理论频率的差异是否显著。, .,Jiang Zengqiang, Hefei University of Tech

28、nology,2022/11/27,47,3.2 随机数的生成方法,随机变量的实现原理,如前所述，产生0，1区间上均匀分布的随机数是生成其它类 型随机变量的基础。,随机变量生成算法应具备的特点：, 效率（efficient）： 占用内存小，执行时间短, 精确性（exactness）：满足一定的精确度要求, 鲁棒性（robustness）：健壮，适应,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,48,3.2 随机数的生成方法, 逆变法,随机变量的生成算法：,Jiang Zengqiang, Hefei University

29、 of Technology,2022/11/27,49,3.2 随机数的生成方法,逆变法生成连续随机变量原理图,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,50,3.2 随机数的生成方法,例1：求服从指数分布的随机数,所求的变量为：,上式可以简化为：,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,51,3.2 随机数的生成方法,例2：求服从如下分布密度函数f（x）的随机变量x,其分布函数为：,其反函数F-1（x）为：,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,52,3.2 随机数的生成方法, 组合法 取舍法 卷积法,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,53,3.2 随机数的生成方法,常用分布类型随机变量的实现：,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,2022/11/27,54,3.2 随机数的生成方法,Jiang Zengqiang, Hefei University of Technology,