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1、第一讲 坐标系,一 平面直角坐标系,声响定位问题,某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上).,以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，,则 A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020),设P（x, y）为巨响声点，,因A点比B点晚4s听到爆炸声，,故|PA| |PB|=3404=1360,由B、C同时听到
2、巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，,PO的方程为y=x，,由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 上,a=680, c=1020,b2=c2-a2=10202-6802=53402.,所以双曲线的方程为：,用y=x代入上式，得,答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心,坐 标 法,(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：,(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；,(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；,例1.已知ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别
3、为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。,A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2, 0).,解：以ABC的顶点为原点,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为,所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.,设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)，,由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，,即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2，,=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0,因此，BE与CF互相垂直.,例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O
4、2的切线PM、PN (M、N分别为切点),使得PM= PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。,解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，,则两圆的圆心坐标分别为O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y),则PM2=PO12-MO12=,同理，PN2=,二 平面直角坐标系 中的伸缩变换,思考：,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。,上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中
5、任意一点，,保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P(x, y)，坐标对应关系为：,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?,在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。,上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，,设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P(x, y),坐标对应关系为：,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.,在正弦曲线y=sinx上任取
6、一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2;,怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?,在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.,即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P(x, y)，坐标对应关系为:,。,把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换,设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:,定义:,的作用下，点P(x, y) 对应P(x, y).,称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。,上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。,在伸缩变换下，平面直角坐标系
7、不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。,把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；,例3 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换:,后的图形。,(1) 2x+3y=0;,(2) x2+y2=1,代入 2x+3y=0;,；,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,直线仍然变成直线，,而圆可以变成椭圆，,那么椭圆可以变成圆吗？,抛物线、双曲线变成什么曲线？,练习：,3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）,6. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求ABC的外心的 轨迹方程。,则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建立直角坐标系，,设ABC外心为P（x,y）,由|PA|=|PB|得,
