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1、量子力学习题与解答,2005年9月1日,绪论,补充：1.证明Plank公式在高频区化为Wein公式，在低频区化为Rayley-Jeans公式。证明：Plank公式为 或写为 其中 , 在高频区, , -Wein公式在低频区， -R-J公式,2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 解： 角动量量子化条件，,3.粒子被限制在长宽高分别为 的箱中动， 试由驻波条件求粒子能量的可能值。解：驻波条件同理，,第一章,补充：1.设 和 分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 时的相对几率分布。a，b为复常数， 为实函数。解：,2.试将下列波函数归一化：解：,第二章,2.1证明在定态中，几率
2、流密度与时间无关。证：,2.2由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内传播的球面波。解：,2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。其中解：定态schr.eq由波函数有限性要求，(1)式改写为,u,o,a,2.4证明（2.6-14）式中的归一化常数是 。证：,2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态( )的能级所满足的方程(分别求出奇宇称和偶宇称解)。解：定态schr.eq,o,a,-a,u0,所以，(12)+(13)和(13)+(14)分别为确定奇偶宇称束缚态能级的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后，可由(15)得出对应的能级 。
3、2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为求束缚态能级满足的方程。,解：,x,b,a,o,u0,-u1,根据波函数的连续性：,补充：1.方势阱的透射与共振：入射粒子E0，势阱深度-V0，宽a。求透射系数T，并讨论T的极大，极小条件。解：,E,-V0,o,a,x,当粒子能量E入射高度为u0的势垒(E u0 )时，透射系数为： ，其中此公式也适用于势阱的透射，只须改定义 即在k表达式中以-V0替代势垒高度u0。讨论:(1)V0=0时，k= k，T=1，此时无势阱。 T=1验证公式正确(2) V00时，T1， 粒子不能以100的几率透过势阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。(
4、3)当 ，即 ，T=1，取极大值，称为共振透射; ;当V0较大，n较 小，则可能存在En0状态，即束缚态。,当 ，即 ，T取极小值; 。2.利用厄米多项式的递推关系 证明线性谐振子波函数满足下列关系：证： (1),(2),3.二维各向同性线性谐振子的哈密顿算符为：试求其本征函数和相应的本证值。解：由定态schr.eq：,所以原方程可以分离变量，设E=E1+E2，其中E1，E2分别是 与 的本征值，本征函数 可表达为两项之积：由于 ， 数学形式完全相同，各自为一维线性谐振子的哈密顿算符，所以：零点能与能级间距均为简并度 ：,2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：,第三章,3.3证
5、明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的分量是：证：由定义 ，电子电荷在球坐标下，,3.4由上题可知氢原子中的电流可以看作由许多圆周电流组成的（如图）(1)求一圆周电流的磁矩(2)证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为解:(1) ，其中 为环形电流 所包围的面积。,z,y,x,o,r,(2)整个原子的磁矩回转磁比率：,3.9设氢原子处于状态 求氢原子能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：能量可能值： ，二度简并，几率为1。能量平均值：角动量平方的可能值： 角动量z分量可能值： 几率：1/4 3/4 ，二度简并,补充：证明证：3.1一维谐振子
6、处在基态 ，求(1)势能的平均值 (2)动能的平均值 (3)动量的几率分布函数解:(1),(2)平均动能,利用利用积分公式 和 的厄米性，又解：(3) 可用动量本征函数 来展开：,动量几率密度(动量取值在p附近单位动量区间的几率密度)：实际上， 就是以p为变量的谐振子的波函数,又解，利用 求 和 （平均动能）3.2氢原子处于基态 ，求(1)r的平均值(2)势能 的平均值 (3)最可几半径 (4)动量平均值(5)动量的几率分布函数解:(1)由公式,(2)(3)在半径rr+dr的球壳内找到电子的几率：,代回 中，可见 为 极小点（w=0）最可几半径（几率密度最大处）：r=a0 (4)动能平均值：,
7、(5),动量空间的几率分布（动量在pp+dp球壳内的几率）：3.8在一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为其中a为势阱宽度，A为归一化常数。求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：先归一化：,即，粒子在无限深势阱中的能级是分立的En，所以 ，其中 为无限深势阱中粒子的能量本征函数。,即能量的几率分布：能量平均值：又解：,3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量表达式为 ，L为角动量。求量子转子在下列情况下的定态能量及波函数。(1)转子绕一固定轴转动；(2)转子绕一固定点转动。解:(1)设转子绕z轴转动，则能量本征值方程：利用自然边界条件：归一化形式为 为整数。解二：已知 的本征函数为,而 的本征函数也是 ，且本征值(2)转子绕固定点转动， 均改变， 的本征函数为球谐函数 ，而 的本征函数也是 ，且本征值3.6设t=0时粒子状态为 ，求此时粒子的平均动量和平均动能。解：,其中当 取分立值： 共5个值时即有 式。要求归一化： ，即平均动能：,补充题：1.计算下列积分。其中 为一维线性谐振子的波函数（能量本征波函数）解：由公式利用谐振子哈密顿算符本征函数的正交归一性，可得：(1),(2) 实际上分别是算符 和 在谐振子能量表象中的矩阵元2.证明：证：,3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。解：,
