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1、解:,(1)直角坐标系,1.1 质量为m的质点，约束在半径为r的光滑半球形碗的内壁运动。试应用牛顿第二定律分别用直角坐标，柱坐标和球坐标写出质点运动的微分方程。,(2)柱坐标,(3)球坐标,解:,设：,1.4 一光滑的杆在水平面上绕其上的一点O以等角速度转动，一质点被约束在杆上自由运动。已知t=0时，质点离O点的距离为b并相对于杆静止。试求质点的运动规律和杆对质点的作用力。,双曲正弦,双曲余弦,1.7 一质点以恒定速率沿一曲线运动.证明该质点的速度V始终与加速度a垂直.,证明:,1.9 一质点用一轻的弹性绳系于固定点A,绳子的固有长度为1,平衡时的长度为1+2.设质点由A点从静止开始自由下落,
2、不计空气阻力,写出质点的运动方程,并求质点自A点落至最低点D所需要时间和A、D间的距离.,解：（1）从A点到原长位置，此时间内为自由落体运动。 根据能量守恒：,所以到原长位置时：,因为加速度为g，所以，到达原长的时间为:,（2）从原长位置到最低点D处，以原长位置为坐标原点，向下为正方向，建立坐标轴Z。,化简得：,解微分方程得：,因为t2=0时，z=0,所以,当 时，,（3）所以总时间为,A,D间总距离为:,解:,1.10 质量为m的小球,系于长为L的无弹性的轻绳端点上,绳的另一端挂于A点.求小球的速率V, 绳子的张力FT和小球运动一周所需的时间.,1.13 质点A约束在光滑水平平台上运动,在此
3、质点上系着一根长为的轻绳,绳子穿过平台上的小孔,另一端垂直地挂着另一个质点B.(1)问此力学体系的动量、角动量、能量是否守恒,并解释之;(2)用质点系动量定理写出体系的运动微分方程;(3)若t=0时,质点A离O的距离为a,速度为 其方向垂直于OA,且mA=mB=m,证明以后质点A离O点的距离始终在a和3a之间.,解：（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力,故系统动量不守恒.,而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统能量守恒。,对O点，合力矩为零，所以系统角动量守恒；,（2）建立柱面坐标系，由动量定理得：,(3) 对于小球A，设其在水平平台最远距离o为r 时由动能定理得：,由角动量守
4、恒得：,故: 小球在a到3a间运动。,得:,而由初始时刻,解：把A、B看作系统，由动量定理知其质心速度 满足:,所以得:,由初始条件得,以质心C点的坐标 和 及杆和x轴的夹角 为坐标:,解:,1.19 在铅直平面内有一光滑的半圆形管道(见图),半径为r,管道内有一长为r ,质量为r的链条.假定链条由于轻微扰动而从管口向外滑出,试用角动量定理求出链条位于任一角度时的速度v.,两边积分：,1.23 总长度为L的软链放在水平光滑的桌面上,此时长为l 的一部分链条从桌上下垂, 起始时链条是静止的，求当链条末端滑到桌子边缘时链的速度v和所需的时间.,解:,设链条的线密度为,则：,解:,1.24 质量为m的小球串在半径为R的光滑圆环上,并可沿圆环自由滑动.如环在水平面内以等角速度绕环上一点O转动,写出小球的运动方程.,
