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1、第十八章平行四边形复习课,平行四边形,定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形。,性质：1、平行四边形对边2、平行四边形对角3、平行四边形对角线,平行,相等,互相平分,相等,4、平行四边形是中心对称图形,两条平行线，其中一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离 .,平行线的又一性质：,平行线之间的距离处处相等,从边来判定,1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形,2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,从角来判定,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,从对角线来判定,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,理一理,平行四边形的判
2、定方法,定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,类型之一平行四边形的性质1已知ABCD的周长为32，AB4，则BC( )A4B12C24 D28【解析】 四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC.平行四边形ABCD的周长是32.2(ABBC)32，ABBC16.AB4，BC12.故选B.,B,2已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中1与2一定不相等的是 ( ) AB CD图181,C,3如图182，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么CDF与ABE不一定全等的条件是( )图182ADFBE BAFCECCFAE DCFAE,C,420
3、13乐山如图183，点E是ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF3，DE2，则ABCD的周长为( )图183A5B7C10D14,D,52013攀枝花如图184所示，已知在ABCD中，BEDF.求证：AECF.证明：BEDF，BEEFDFEF.DEBF.,四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC.ADECBF.,类型之二两条平行线之间的距离6如图185，直线ABCD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将 ( )A变大B变小C不变D变大或变小要看点P向左还是向右移动,图185,C,类型之三平行四边形的判定7如图186，在ABC中，ACB90，点E为
4、AB中点，连接CE，过点E作EDBC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AFCE.求证：四边形ACEF是平行四边形,图186,证明：如图，点E为AB中点，ACB90，第7题答图CEAEEB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)又AFCE，,AFAE，3F.又EBEC，EDBC，12.又23，1F，CEAF，四边形ACEF是平行四边形,类型之四平行四边形的性质与判定的综合运用92013南平如图188，在ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BEFD，求证：四边形AECF是平行四边形证明：在ABCD中，ADBC且ADBC，BEFD，AFCE，四边形AECF是平行四边形,图188,11如图18
5、10，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AECF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.,图1810,求证：(1)AEMCFN；(2)四边形BMDN是平行四边形证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，DABBCD，EAMFCN.又ADBC，EF.,(2)四边形ABCD是平行四边形，AB綊CD.又由(1)得AMCN，BM綊DN，四边形BMDN是平行四边形,12如图1811，ABCD中，ABC的平分线交AD于E，CDA的平分线交BC于F.(1)求证：ABECDF；(2)连接EF，BD，求证：EF与BD互相平分,图1811,(2)如图，连接EF，B
6、D.ABECDF，AECF.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DEBF且DEBF.四边形BFDE是平行四边形EF与BD互相平分,第12题答图,2.矩形的性质：,对边平行且相等,四个角都是直角,对角线互相平分且相等,1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形是中心对称图形也是轴对称图形,矩形：,矩形的特殊性质,性质1、矩形的四个角都是直角,性质2、矩形的两条对角线相等,几何语言:,四边形ABCD是矩形,AC = BD,A=B=C=D=90,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,ACB=90AD = BDCD = AB,复习
7、与回顾,矩形：,提示：判定一个四边形是矩形，应先认清是任 意四边形，还是平行四边形，然后选择适当的方法判定。,平行四边形的判定,有一个角是直角的平行四边形,对角线相等的平行四边形,有三个角是直角,对角线互相平分且相等,一组邻边相等,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,边,对角线,角,菱形的定义,菱形的性质,菱形,菱形的两条对角线互相平分,菱形的两组对边平行,菱形的四条边相等,菱形的两组对角分别相等,菱形的邻角互补,菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。,菱形常用的判定方法,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有四条边相等的四边形是菱形。,四条
8、边都相等,菱形,一组邻边相等,对角线互相垂直,对角线互相平分,一组对边平行且相等,二组对边平行或相等,判定回顾,四边形,平行四边形,一组对角平行且相等,平行四边形,定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,一个角是直角,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,一组邻边相等,一个角是直角,有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形,正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角,正方形的对边平行且相等,正方形的四个角都是直角,边,对角线,角,正方形的定义,正方形的性质,一组邻边相等,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,平行四边形,有一组邻边相等,有一个角
9、是直角,正方形常见的判定法,平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,正方形,类型之一与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的命题12014防城港下列命题是假命题的是 ( )A四个角相等的四边形是矩形B对角线相等的平行四边形是矩形C对角线垂直的四边形是菱形D对角线垂直的平行四边形是菱形,本章复习课,C,类型之二直角三角形斜边上的中线2如图191，在ABC中，ACB90，A30，BC2，点M是斜边AB的中点，那么CM_,2,图191,【解析】 ACB90，A30，BC2，AB2BC4.点M是斜边AB的中点，,3如图192，四边形ABCD中，BADBCD90，M，N分别是对角线BD，AC的中点求证：直线
10、MN是线段AC的垂直平分线,图192,证明： 如图，连接AM，CM，BADBCD90，M是BD的中点，N是AC的中点，直线MN是线段AC的垂直平分线,第3题答图,类型之三矩形的性质与判定42014黔东南如图193，在矩形ABCD中，AB8，BC16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为 ( ),D,图193,【解析】 设BEx，则CEBCBE16x，沿EF翻折后点C与点A重合，AECE16x.在RtABE中，AB2BE2AE2，即82x2(16x)2，解得x6，AE16610.由翻折的性质得，AEFCEF，矩形ABCD的对边ADBC，,第4题意图,AFECEF，AEFA
11、FE.AEAF10.过点E作EHAD于H，则四边形ABEH是矩形，EHAB8，AHBE6.FHAFAH1064.,类型之四菱形的性质与判定62014枣庄如图195，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE3，则四边形AECF的周长为 ( )A22 B18C14 D11,图195,A,【解析】 在菱形ABCD中，BACBCA，AEAC，BACBAEBCAE90，BAEE，BEAB4，ECBEBC448，同理可得AF8，ADBC，四边形AECF是平行四边形，四边形AECF的周长2(AEEC)2(38)22.,72014牡丹江如图196，在菱形A
12、BCD中，E是AB边上一点，且AEDF60，有下列结论：AEBF；DEF是等边三角形；BEF是等腰三角形；ADEBEF，其中结论正确的个数是 ( )A3 B4 C1 D2,图196,A,【解析】 连结BD，四边形ABCD是菱形，A60，ADC120，ADB60，同理：DBF60，即ADBF.易知ABD是等边三角形，ADBD，,第7题答图,ADEBDE60，BDEBDFEDF60，ADEBDF，ADEBDF，DEDF，AEBF，故正确；EDF60，EDF是等边三角形，正确；DEF60，AEDBEF120，AEDADE180A120，ADEBEF，故正确；ADEBDF，AEBF，同理：BECF，但
13、BE不一定等于BF.故错误综上所述，结论正确的是.,82014淄博已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为一个菱形你添加的条件是_,ABBC或ACBD等,92013宜昌如图197，点E，F分别是锐角A两边上的点，AEAF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；(2)连结EF，若AE8 cm，A60，求线段EF的长,解：(1)四边形AEDF是菱形理由：根据题意得AEAFEDDF，四边形AEDF是菱形(2)如图，连接EF，AEAF，A60，EAF是等边三角形，EFAE8 cm.
14、,第9题答图,10如图198，ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.(1)求证：ADEC；(2)当BAC90时，求证：四边形ADCE是菱形；(3)在(2)的条件下，若ABAO，且ODa，求菱形ADCE的周长,图198,解：(1)证明：AEBC，DEAB，四边形ABDE是平行四边形，AEBD.D是BC的中点，CDBD.AECD，AECD.四边形ADCE是平行四边形ADEC.(2)证明当BAC90时，AD是RtABC斜边上的中线，四边形ADCE是菱形,(3)四边形ADCE是菱形，对角线ACDE，且O是DE中点四边形ABDE是平行
15、四边形，ABDE.又ABAO，ODa，AODE2OD2a.,类型之五正方形的性质与判定112013鄂州如图199，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点(1)求证：ADEABF；(2)求AEF的面积,图199,解：(1)证明：四边形ABCD为正方形，ABAD，DB90，DCBC.E，F分别为DC，BC的中点，DEBF.ADEABF.,(2)由题知ABF，ADE，CEF均为直角三角形，,12如图1910，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AFBPCQDE.求证：(1)EFFPPQQE；(2)四边形EFPQ是正方形证明：(1)四边形ABCD是正方形，ABCD9
16、0，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFCEBQAP.,图1910,在APF，DFE，CEQ和BQP中，APFDFECEQBQP，EFFPPQQE.(2)EFFPPQQE，四边形EFPQ是菱形APFBQP，AFPBPQ.AFPAPF90.APFBPQ90.FPQ90，四边形EFPQ是正方形,13如图1911，已知ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形,图1911,【解析】 (1)利用等边三角形三线合一得DBAC，对角线互相垂直的平行四边形是菱形(2)由等边三角形
17、得AEC60，由AED2EAD，得EAD15，于是ADOEADAED45，则ADC2ADO90，从而四边形ABCD是正方形证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，AOCO.又ACE是等边三角形，EOAC，即DBAC，ABCD是菱形(2)ACE是等边三角形，AEC60.,AED2EAD，EAD15，ADOEADAED45，ADC2ADO90.四边形ABCD是菱形，四边形ABCD是正方形,12014济宁改编如图1，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.求证：BFDF.证明： 四边形ABCD和AEFG都是正方形，ABAD，AEAGEFFG，BEFDGF90.BE
18、ABAE，DGADAG，BEDG.BEFDGF，BFDF.,培优选练（六） 以正方形为背景的证明与计算,图1,22014天水如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，ADECDF.(1)求证：AECF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OGOD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由解： (1)证明：四边形ABCD是正方形，ADCD，AC90.ADECDF，RtADERtCDF.AECF.,图2,(2)四边形DEGF是菱形四边形ABCD是正方形，ABDDBC45(正方形的对角线平分一组对角)，ABBC(正方形邻边相等)AECF(已证)，ABAEBC
19、CF(等式的性质)，即BEBF.易得BOEBOF，OEOF.ODOG，四边形DEGF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，DEDF，DEGF是菱形,32014梅州如图3，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.(1)求证：CECF；(2)若点G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？解： (1)在正方形ABCD中，BCDC，BADC90.CDF90.BCDF90，BEDF，BECDFC.CECF.,图3,(2)成立理由如下：BECDFC，12.BCD90，GCE45.1345.2345，即GCF45.GCEGCF45，ECFC，GCGC
20、，EGCFGC.EGFG.FGFDDGEBDG，EGEBDG.,第3题答图,42014鄂州在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图4放置，连接DE，BH，两线交于点M.求证：(1)BHDE；(2)BHDE.证明： (1)四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，CBCD，CECH，BCDECH90.BCH90DCH，DCE90DCH.BCHDCE.在BCH和DCE中，,图4,CBCD，BCHDCE，CHCE，BCHDCE.BHDE.(2)如图，连接BD.四边形ABCD是正方形，DBCBDC90.BCHDCE，CBHCDE.DBMBDMDBMCDEBDCDBMCBHBDCDBCBDC90.B
21、MD180(DBMBDM)1809090.BHDE.,第4题答图,52014临沂问题情境：如图5(1)，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM.(1)证明：AMADMC；(2)AMDEBM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图5(2)，(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明,图5解： (1)证法一：如答图(1)，过E点作EFAM，垂足为F，,第5题答图(1),AE平分DAM，EDEF，在RtAEF和RtAED中，RtAEFRtAED，AFAD.连接ME，E是CD边
22、的中点，EDCE.EDEF，CEEF，,在RtMEF和RtMEC中，RtMEFRtMEC.FMCM.AMAFFM，AMADMC.,证法二：如答图(2)，把ADE绕E点顺时针旋转180，使DE和CE重合,第5题答图(2),点A，E，A在同一直线上，点M，C，A在同一直线上，DAEEAC，ADAC.AE平分DAM，DAEMAE.EACMAE.AMMA.MAMCCA，AMADMC.,(2)如答图(3)把ADE绕A点顺时针旋转90，使AD和AB重合DAEBAE，AEDE，DEEB.AE平分DAM，DAEMAE，ABCD，,第5题答图(3),AEDBAE，BAEBAMMAE，BAEBAMBAE，BAEM
23、AE，EMAE，AMEM，EMEBBM，AMDEBM.(3)AMADMC，成立与(1)中(证法二)一样的证明过程AMDEBM不成立,62014日照(1)如图6(1)，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.求证：CECF；(2)如图6(2)，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用(1)的结论证明：GEBEGD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图6(3)，在四边形ABCD中，ADBC(BCAD)，B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE10，求四边形ABCD的面积,解： (1)证明
24、：四边形是ABCD正方形，BCCD，BADC90.FDC90.BFDC.BEDF，CBECDF.CECF.,图6,(2)证明：如图答图(1)，延长AD至点F，使DFBE，连接CF.由(1)知CBECDF，BCEDCF.BCEECDDCFECD，即ECFBCD90.又GCE45，GCFGCE45.CECF，GCGC，ECGFCG.GEGF.GEGFDFGDBEGD.,(3)如答图(2)，过点C作CGAD，交AD延长线于点G.在四边形ABCD中，ADBC，AB90，又CGA90，ABBC，,第6题答图(1) 第6题答图(2),四边形ABCG为正方形AGBC.DCE45，根据(1)(2)可知，EDBEDG.104DG，即DG6.设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2AD2AE2，即102(x6)2(x4)2.解这个方程，得x12或x2(舍去)AB12.即四边形ABCD的面积为108.,
