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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,2.7 函数的弹性,一、函数弹性的定义,二、 弹性在经济分析中的应用,三、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,2,1. 函数的绝对变化率与相对变化率,前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对,改变量与绝对变化率. 但从实践中得知, 仅仅研究,函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的, 还需,要研究函数的相对改变量与相对变化率.,一、函数弹性的定义,湘潭大学数学与计算科学学院,3,湘潭大学数学与计算科学学院,4,设函数 y = f (x)可导，当自变量 x 在 x0处给以增量,时，相应地，函数 y 有增量,称,为函数自变量与因变量的绝对改变量，,而称,为自变量与因变量的
2、相对改变量,称,为函数从 的相对变化率,湘潭大学数学与计算科学学院,5,如,当 x 由10变到12时,y 由100变到144.,此时，绝对改变量为,而相对改变量为,表示当 x 由10变到12时，x 产生了20%的改变，,而y产生了44%的改变,湘潭大学数学与计算科学学院,6,表示在(10, 12)内, x 从 x=10, 每改变 1%时, y,平均改变了2.2%，它为从 x=10 到 x=12时, 函,数 y = x2 的相对变化率,且,湘潭大学数学与计算科学学院,7,定义2.7.1 设函数 y = f (x) 在点 x = x0处可导，函数,的相对改变量,2. 函数弹性的定义,湘潭大学数学与
3、计算科学学院,8,变化率，,或称为从x = x0到,两点间的弹性,而当, 两点间相对变化率的极限,称为 f(x)在点 x = x0的相对变化率，也称为f(x)在x0的,弹性. 记作,且,湘潭大学数学与计算科学学院,9,一般的，如果 y = f (x) 可导，称,为f (x) 的弹性函数,函数 f (x) 在点 x的弹性,反映了函数 f (x) 随自,变量的变化而变化的幅度大小(灵敏度):,当 x 变化1%时，函数 y 变化了,湘潭大学数学与计算科学学院,10,由,边际函数,平均函数,即，弹性可理解为边际函数与平均函数之商,注意 两点间的弹性是有方向性的, 因为“相对性”,是对初始值而言的.,也
4、就是说:,两点间的弹性是不同的.,湘潭大学数学与计算科学学院,11,即指数函数的弹性为线性函数,例2 求函数,的弹性函数,解,例1 求函数,的弹性函数,解,即幂函数的弹性为其幂指数b.,湘潭大学数学与计算科学学院,12,二、弹性在经济分析中的应用,1. 需求弹性与供给弹性,定义2.7.2 设某商品的需求函数为 Q = f (P), 在,处可导，称,为需求函数Q=f(P) 在P=P0与,两点间,的需求价格弹性，,记作,(2.7.3),湘潭大学数学与计算科学学院,13,而称,为需求函数Q=f(P) 在P=P0处的需求(价格)弹性，,记作,(2.7.4),价格从,每,湘潭大学数学与计算科学学院,14
5、,表示: 当商品价格为P0时, 若价格上涨(下降)1%时，,当把定义中的 P0 换成 P 时，所得结果分别称为需,及需求的(价格)弹性函数,湘潭大学数学与计算科学学院,15,说明 需求弹性是刻画当商品价格变动时, 需求,变动的强弱. 由于需求函数 Qf (P) 是单调减少,函数, 则P 与 Q 异号, 而P0, Q0 是正数, 于是,都是负数.,为了用正数表示需求弹性, 于是采用需求函数,相对变化率的反号来定义需求弹性.,湘潭大学数学与计算科学学院,16,例3 某商品的需求函数为,求,（2）P=30的需求弹性,解 （1）,说明价格从30降至 20，在此区间内，价格每降,1%, 需求量从40平均
6、增加 1.5%.,湘潭大学数学与计算科学学院,17,（2）,则,需求的弹性函数为常数，说明在任何价格 P处，,弹性都不变，称为不变弹性函数, 即价格上涨,（下降）1%需求量就会下降（上涨） 1%.,湘潭大学数学与计算科学学院,18,例4 某商品的需求函数为,求,（1）需求弹性函数；,（2）P=3,5,6时的需求弹性,解 （1）,（2）,湘潭大学数学与计算科学学院,19,说明需求变动的幅度小于价格变动,的幅度,即P=3时，价格上涨（下降）1%，需求,量下降( 上涨 ) 0.6%.,一般的, 当,时, 称商品,需求在此处缺乏弹性,说明当P=5时需求与价格的变动幅度相同,称商品需求在此处具有单位弹性
7、,说明当P=6时需求变动幅度大于价格,湘潭大学数学与计算科学学院,20,变动幅度即 P=6 时，价格上涨（下降）1%, 需,求量下降（上涨）1.2% .,一般的，若,商品需求在此处富有弹性,则称,下面讨论供给弹性:,湘潭大学数学与计算科学学院,21,定义2.7.3 设某商品的供给函数为 Q=g(P), 在,处可导，称,为供给函数 Q=g(P)在P=P0与,两点间的,供给弹性，,记作,湘潭大学数学与计算科学学院,22,而称,为供给函数Qg(P) 在PP0处的供给弹性，,记作,2. 需求弹性与总收益,总收益=商品的价格需求量,商品的需求弹性会引起总收益如何变化? 由于,湘潭大学数学与计算科学学院,
8、23,即,湘潭大学数学与计算科学学院,24,可以看出:,即该商品为缺乏弹性商品时，,价格上涨, 总收益会增加; 价格下降, 总收益会减少;,需求量的变动幅度与价格的变动幅度相等，价格的,变动不会引起总收益变化,即该商品为单位弹性商品时，,湘潭大学数学与计算科学学院,25,即该商品为富有弹性商品时，,价格上涨，总收益减少；价格下降，总收益增加,综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，,随商品需求弹性的变化而变化. 一般来说, 富有弹性,商品降低价格可以增大收益, 缺乏弹性商品提高价格,可以增大收益.,下面讨论总收益的变化率问题.,湘潭大学数学与计算科学学院,26,由,则,例5 某商品的需求函数为
9、,说明当价格变化 1%时, 总收益将变化,湘潭大学数学与计算科学学院,27,（1）求需求弹性函数；,（2）求P=3时的需求弹性，说明其经济意义；,（3）当P=3时，若价格上涨 1%，总收益如何变化？,解 （1）,（2）,湘潭大学数学与计算科学学院,28,经济意义为: 当价格P=3时，若价格上涨（下降）,1%商品的需求量将下降（上涨）0.176%.,（3） P=3 时，若价格上涨1%, 由于,则总,收益增加，且增加的幅度为,即增加,湘潭大学数学与计算科学学院,29,3. 需求弹性与边际收益,若将商品的价格P看成需求量Q的函数 , 则,总收益为,边际收益为,又,湘潭大学数学与计算科学学院,30,从
10、中可以看出：对富有弹性商品，增加产品的,销售量可使总收益增加，而对缺乏弹性的商品，,减少产品的销售量可使总收益增加,湘潭大学数学与计算科学学院,31,例6 某商品的价格P与销售量Q的函数关系为,而成本函数为,当边际收益,需求弹性,时，利润,最大,（1）求利润最大时的产量；,（2）求a,b的值,湘潭大学数学与计算科学学院,32,解（1）由最大利润原则,有,解得,因为,而,则,又,因此,湘潭大学数学与计算科学学院,33,又因为,得,则只有Q=11满足,因此，产量为,11时，利润最大,（2）由需求弹性与边际收益的关系,且,由已知，,湘潭大学数学与计算科学学院,34,时，利润最大，而由（1）知，此时产量为Q=11,代入上述条件，有,解方程组得,湘潭大学数学与计算科学学院,35,内容小结,1. 函数弹性的定义,2. 弹性在经济分析中的应用,需求弹性与供给弹性 需求弹性与总收益、边际,收益的关系,湘潭大学数学与计算科学学院,36,作 业,
