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1、第七章 回归正交试验设计,回归正交试验设计将正交试验设计和回归分析两者的优势统一起来，它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,一次回归正交设计欲建立如下的回归方程：,或,1,7.1.1一次回归正交设计的基本方法,1.确定因素的变化范围,设因素xj的变化范围为xj1,xj2，分别称xj1和xj2为因素xj的下水平和上水平，取它们的算数平均值,称xj0为xj的零水平。,Xj的变化间距用j表示：,或,2,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,2.因素水平的编码,将xj的各水平进行如下
2、的线性变换：,Zj就是xj的编码，两者一一对应。,因素水平编码表,3,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,由于规范变量zj的取值范围都在1，1之间，不受自然变量xj的单位和取值大小的影响，所以将y与xj之间的回归转化为y与zj之间的回归问题，会大大简化回归计算量。,3.一次回归正交设计表,将二水平的正交表中“2”用“1”代换，即可得到一次回归正交设计表。例如 经过变换后得到如下的回归正交设计表：,4,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,回归正交表具有如下的特点：（1）任一列编码的和为0,或,（2）任意两列编码的乘积之和等于零,说明回归正交设计表同样具有正交性，可使回归计算大大简化。,5
3、,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,4.试验方案的确定,交互作用列的编码正好等于表中对应两列因素编码的乘积，所以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表，直接根据这一规律写出交互作用列的编码。,6,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,上表中第9、10号试验称为零水平试验或中心试验，安排零水平试验的目的是为了进行回归方程的失拟检验，如果不考虑失拟检验，也可以不安排零水平试验。,7.1.2一次回归方程的建立,设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为mc，零水平试验次数为m0，即有：,建立回归方程其系数的计算公式如下：,7,7.1 一次回归正交试验设计及结果
4、分析,式中zji表示zj列各水平的编码，(zkzj)i表示zkzj列各水平的编码。,8,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,通过上述方法确定偏回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转成标准回归系数，回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负。,7.1.3一次回归方程及偏回归系数的显著性检验,1.无零水平试验时,(1)计算各种平方和,总变动平方和,9,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,一次项zj偏回归平方和,交互项zkzj偏回归平方和,回归平方和U,剩余平方和Q,10,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,偏回归平方和自由度,回归平方和
5、U自由度,(2)计算各种平方和的自由度,总变动平方和自由度,剩余平方和Q自由度,11,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,(3)计算均方差,一次项偏回归平方和均方差,交互项偏回归平方和均方差,回归平方和均方差,剩余平方和均方差,12,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,(4)显著性检验,回归方程的显著性检验,偏回归系数的显著性检验,经偏回归系数显著性检验，证明对试验结果影响不显著的因素或交互项，可将其直接从回归方程中剔除，不需要重新建立回归方程，但应将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126129例81。,13,7.
6、1 一次回归正交试验设计及结果分析,14,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，对x1（灰化温度/）、x2（原子化温度/）和x3（灯电流/mA）三个因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、 x1x3。已知x1=300700 , x2=18002400，x3=810mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系。,因素水平编码表,15,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,16,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,17,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,18,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,19,7.1 一
7、次回归正交试验设计及结果分析,F0.05（1,2）=18.51 F0.01（1,2）=98.49,只有因素z2对指标影响高度显著，其余因素及交互项的影响不显著。回归方程显著。,F0.05（5,2）=19.30 F0.01（5,2）=99.30,20,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74,将z1、z3、z1z2、z1z3的平方和并入误差项,可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：,21,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,2.有零水平试验时,前面介绍的回归方程显著性检验，只能说明回归方程是显著的，至于失拟因素
8、对试验结果的影响不得而知，如果失拟因素的影响也是显著的，那么原来建立的一次正交回归的数学模型不合理，需要重新考虑拟合的数学模型。只有数学模型合理而且据此得到的回归方程显著时才有意义。 当零水平试验次数m02，可进行回归方程的失拟性检验。,22,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,设m0次零水平试验结果为y01，y02，y0m0，则：,重复试验误差变动平方和及其自由度：,失拟平方和及其自由度：,23,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,(1)回归方程拟合度检验拟合的数学模型是否合理,当F1F，回归方程失拟不显著，所建立的模型合理，可以进行后续的F2检验。,(2)回归方程显著性检验回归方程
9、是否显著,当F1F，回归方程失拟显著，所建立的模型不合理，应该考虑那些失拟因素重新建立数学模型。,24,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,当F2F，回归方程显著，否则回归方程不显著。,只有F1检验不显著，而F2检验显著时所建立的回归方程才有意义。,25,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,26,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,某产品的收得率与反应温度x1(70100)、反应时间x2(14h)及某反应物含量x3(30%60%)有关，不考虑因素间的交互作用。选用正交表 进行一次回归正交试验，将因素分别安排在如下正交表的列中，并安排3次零水平试验，其方案和结果如下表：,1、用一次回
10、归正交试验设计求出y与z1、z2、z3之间的三元一次回归方程。2、确定因素主次。3、对回归方程和回归系数进行显著性检验。4、进行失拟性检验。5、回归方程的建立。,27,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,28,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,29,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,30,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,F0.01（1,7）=12.25 F0.01（3,7）=8.45,三个因素对指标影响都高度显著，回归方程也高度显著。,31,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,32,7.1 一次回归正交试验设计及结果分析,其它例子见书P129131例82。,33,7
11、.2二次回归正交组合设计,7.2 二次回归正交组合设计,实际生产和科学试验中，指标和因素之间的关系不一定宜用一次回归方程来描述，所以当所建立的一次回归方程经过显著性检验不宜用时，就需要二次或更高次方程来拟合。,34,7.2二次回归正交组合设计,为了计算二次回归方程的系数，每个因素至少要取3个水平，所以用一次回归正交设计的方法来安排试验，往往不能满足这一条件。我们可以在一次回归正交设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案，即所谓的组合设计。,7.2.1 二次回归正交组合设计表,35,7.2二次回归正交组合设计,二元二次回归正交组合设计试验方案,可见，正交组合设计由三类试验点
12、组成，即二水平试验、星号试验和零水平试验。,36,7.2二次回归正交组合设计,37,7.2二次回归正交组合设计,三元二次回归正交组合设计试验方案,38,7.2二次回归正交组合设计,如果将交互项和二次项列入组合设计表中，可得到二次回归正交组合设计表。其中交互列和二次项中的编码可直接由对应一次项的编码写出。,二元二次回归正交组合设计表,从上表中可以看出，二次回归正交组合设计表中二次项所在列失去了正交性：该列的编码和不为0，与其它任一列编码的乘积之和也不一定为0。,39,7.2二次回归正交组合设计,三元二次回归正交组合设计表,二次回归正交组合设计表中二次项所在列失去了正交性。,40,7.2二次回归正
13、交组合设计,二次回归正交组合设计表中由于二次项所在列失去了正交性，为了让二次回归正交组合设计表具有正交性，需要确定合适的星号臂长度，并对二次项进行中心化处理。,7.2.2 星号臂长度与二次项中心化,1、星号臂长度的确定,41,7.2二次回归正交组合设计,二次回归正交组合设计值表,42,7.2二次回归正交组合设计,2、二次项的中心化处理,43,7.2二次回归正交组合设计,二元二次回归正交组合设计编码表（m0=1）,44,7.2二次回归正交组合设计,三元二次回归正交组合设计编码表（m0=1）,45,7.2二次回归正交组合设计,7.2.3 二次回归正交组合设计的基本步骤,1、因素水平编码,46,7.
14、2二次回归正交组合设计,因素水平编码表,47,7.2二次回归正交组合设计,2、确定合适的二次回归正交组合设计,首先根据因素数m选择合适的正交表进行变换，确定二水平试验方案，二水平试验次数mc和星号试验次数m,可以参考下表进行：,二次回归正交组合设计的正交表选用,48,7.2二次回归正交组合设计,3、对二次项进行中心化处理 通过中心化处理，得到具有正交性的二次回归正交组合设计编码表。,4、试验方案的实施,根据二次回归正交组合设计表确定的试验方案，进行N次试验，得到N个试验结果。,5、回归方程的建立,49,7.2二次回归正交组合设计,50,7.2二次回归正交组合设计,6、回归方程的显著性检验,51
15、,7.2二次回归正交组合设计,52,7.2二次回归正交组合设计,7、失拟检验,8、回归方程的回代,9、最优方案的确定,53,7.2二次回归正交组合设计,例8-3（P186）：为了提高某种淀粉类高吸水性树脂的吸水倍率，重点考察了丙烯酸中和度和交联剂用量对指标（吸水倍率）的影响。已知丙烯酸中和度x1的变化范围为0.70.9，交联剂用量x2的变化范围为13mL，试用二次回归正交组合设计分析出这两个因素与指标之间的关系。,54,7.2二次回归正交组合设计,55,7.2二次回归正交组合设计,因素水平编码表,56,7.2二次回归正交组合设计,57,7.2二次回归正交组合设计,二元二次回归正交组合设计编码表
16、（m0=2）,58,7.2二次回归正交组合设计,二元二次回归正交组合设计计算表,59,7.2二次回归正交组合设计,二元二次回归正交组合设计计算表（续）,60,7.2二次回归正交组合设计,61,7.2二次回归正交组合设计,62,7.2二次回归正交组合设计,63,7.2二次回归正交组合设计,64,7.2二次回归正交组合设计,F0.05（1,4）=7.71 F0.01（1,4）=21.20 F0.01（5,4）=15.52,方差分析表,方差分析结果表明：回归方程及各偏回归系数均达到显著水平。,65,7.2二次回归正交组合设计,66,7.2二次回归正交组合设计,67,7.2二次回归正交组合设计,68,7.2二次回归正交组合设计,
