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1、第三章 X射线衍射的几何原理,序言（产生衍射线的原因 ，x射线衍射理论）,3-1 布拉格定律,3-2 衍射矢量方程和厄瓦尔德作图,3-3 劳埃方程组,产生衍射线的原因,X射线,晶体,衍射现象,不同的衍射花样,电子散射,电磁波,干涉作用,辐射,周期排列的散射波中心发出的相干散射波互相干涉,晶体中原子排列的周期性,干涉加强出现衍射线,测定晶体结构,研究与结构相关的一系列问题,分析,没有衍射线产生,互相抵消,x射线衍射理论：,将晶体结构和衍射花样联系起来,x射线衍射理论包括：,衍射线束的方向：,衍射线束的强度：,衍射线束的形状、大小：,由晶胞的形状、大小决定 （本章）,由晶胞中原子的位置和种类决定（
2、下章）,由晶体的形状大小决定,衍射线束的方向用下列四种形式表示 ：,布拉格定律衍射矢量方程厄瓦尔德图解劳埃方程,即衍射线方向与晶体结构关系的四种表现形式,预备知识,干涉加强,布拉格实验,一.布拉格定律的推证,二.布拉格方程的讨论,如图3-1,S方向的合成波,T方向的合成波(振幅=0),波程差： =n (n=0，1，2，),或 相 差： =2/=n2,若=（2n+1） 或 =（2n+1） 削弱为0,干涉加强,布拉格实验(图32）,将X-ray沿与NaCl晶体（001）面平行的方向入射，且晶体绕O轴转动，同时计数管转动2。,实验结果：当=30、64时，有脉冲产生。,实验表明： 可将晶面视为反射面，
3、 且反=入 反射具有选择性那么：为什么是选择反射？这与晶体结构有什么关系？,一. 布拉格定律的推证,假定在参与散射的晶体中： 晶面完整、平直 入射线平行 单色X-ray（波长一定）,此时，X-ray满足反射定律反=入。入射线、反射线、法线三线共面,图3-3 晶体对X射线的衍射,1,1a,2,3,2a,1a,1,2,3,2a,S,M,N,Q,R,2,P,K,a,d,一层原子面,O,A,P,K,Q,R,1a,1a,1,1,1.一层原子面上散射X-ray的干涉,=KQ-PR=a(cos-cos),如图33:,X-ray以角入射到原子面A,并以角散射时，相距为a的任意两原子P、K散射X射线1-1和1a
4、-1a的波程差为：,当=n时，在方向干涉加强,假定原子面上所有原子的散射线同位相，即=n2=0，=0,(见图31),则 a(cos-cos)=0，=,当入射角与散射角相等时，一层原子面上所有散射波干涉加强。与可见光的反射定律相类似，X-ray从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线干涉加强的方向： 即一层原子面对X-ray的衍射在形式上可看成原子面对入射线的反射。, X-ray具有强的穿透力，晶体的散射线来自若干层原子面，除同一层原子面的散射线互相干涉外，各原子面的散射线之间还要互相干涉。,2. 相邻原子面的散射波的干涉,1-1和2-2的波程差：,如图33:,=MO+ON=2dsin,若 =n
5、,则 相邻原子面散射波干涉加强衍射,时产生衍射。布拉格方程是产生衍射的必要条件。,即 2dsin=n（n=0,1,2,3, ),布拉格方程,方程中： ：入射线波长 d ：晶面间距； ：掠射角或布拉格角（半衍射角） 2：衍射角； n ：为整数，称反射级数,二. 布拉格方程的讨论,选择反射 产生衍射的限制条件 干涉面和干涉指数 衍射线方向与晶体结构的关系,选择反射,X-ray在晶体中的衍射，实质上是晶体中各原子相干散射波之间互相干涉的结果。一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射，不受条件限制。X-ray从原子面的反射是有选择地，其选择条件为布拉格方程 将 X-ray的晶面反射称选择反射。
6、X-ray选择“反射”的根源是X射线强的穿透本领，造成晶体内若干原子面反射线干涉的结果。,产生衍射的限制条件,由 2dsin=n,因 sin1,考虑n=1（即1级反射）的情况，有,即能产生衍射的限制条件,它说明：波长的 X-ray 晶体时，只有面间距 的晶面才能产生衍射。,如：-Fe的一组晶面，面间距 为 ：2.02A, 1.43A, 1.17A, 1.01A, 0.90A, 0.83A, 0.76A,哪些面能产生衍射？哪些不能？分别用铜靶铁靶,干涉面和干涉指数,我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程：,把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间距为 dHKL的晶
7、面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的面指数称为干涉指数。,实用布拉格方程,衍射线方向与晶体结构的关系,由2dsin= 有一定时，则是d的函数将上述立方、斜方晶系的面间距公式代入布拉格公式，平方，得：,立方晶系：,正方 晶系：,斜方晶系：,由衍射线束的方向确定晶胞的形状、大小。无法确定原子种类和在晶胞中的位置的。,小 结：,1. 布拉格方程表明了选择反射的规律，是一个物理模型。 作用：由da, b, c2. 引入干涉指数后，方程简化、实用。3. 选择反射的根源是X-ray有强的穿透力。,(b)
8、体心立方 Wa=b=c=0.3165 nm,(a) 体心立方 a-Fe a=b=c=0.2866 nm,图3-4 X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系,(c) 体心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm,(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm,(e) 面心立方：g-Fe a=b=c=0.360nm,衍射矢量方程和厄瓦尔德图解,在描述X射线的衍射几何时，主要是解决两个问题:,为了把这两个方面的条件用一个统一的矢量形式来表达，引入了衍射矢量的概念。,倒易点阵中衍射矢量的图解法：厄瓦尔德图解,产生衍射的条件，即满足布拉格方程；衍射方向，即根据
9、布拉格方程确定的衍射角2 。,衍射矢量,如图所示，当一束X射线被晶面P反射时，假定N为晶面P的法线方向，入射线方向用单位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示，则S-S0为衍射矢量。,S- S0,（衍射矢量图示）,S0,S,A,衍射矢量方程（由布拉格公式导出的布拉格公式矢量表达式）,也可以说：,厄瓦尔德图解,原理,要使（HKL）晶面发生反射，入射线必须沿一定方向入射，以保证反射线方向的矢量 端点恰好落在倒易矢量 的端点上，即 的端点应落在HKL倒易点上。,表征衍射几何条件的图解形式。,由于晶体中存在各种方位和各种面间距的晶面，因此当入射线沿一定方位入射时，可能同时有若干束衍射线发生，则可用厄
10、瓦尔德图解法求衍射线束的方向。,设有n族面符合反射条件，则可作n个衍射矢量三角形，该三角形以C为顶点， 为一公共边，各自的倒易阵点至C ，它们构成一个球面，称厄瓦尔德球或反射球。,作图 (见图),1作晶体的倒易点阵，O*为倒易原点。2入射线沿OO*方向入射，且令OO*=3以O为球心，以 为半径画一个球称反射球。 若球面与倒易点P1相交，连OP1则有,OP1是一衍射线方向。,衍射X射线,衍射X射线,衍射球,O*,A,C,B,衍射X射线 S,O,1/,S0,r*,以上求衍射线方向的作图法称厄瓦尔德图解。,由此可见，当X-ray沿OO*方向入射，所有能发生反射的晶面，其倒易点都应落在以O为球心，以1
11、/为半径的球面上，即在球面上的倒易阵点可以反射，不在球面上的倒易阵点一定不可反射，从球心O指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向。,作图举例,用Cu-K照射多晶Al合金（fcc），a=4.09埃，若111、220产生反射，作图表示反射图象，111、220=？（=1.54埃）单晶立方晶体，a=3.6埃，=1.94埃， 入射，（ 、 ）上倒易阵点能否反射？,若要使（220）能产生反射，怎么办？,改变波长，转动晶体，使220落在反射球上。,劳埃方程组,由衍射矢量方程：,先后分别以 、 、 乘式，得：,劳埃方程组矢量形式(H、K、L为干涉指数),总 结：,1.讨论了晶体结构与衍射方向的关系（即d或与关
12、系），此关系用4种形式表达。 2dsin= （或 2dsin=n ） 布拉格方程标量式，是精确的数学计算式。 衍射矢量方程：矢量式，是厄瓦尔德作图的基础 厄瓦尔德作图：是衍射几何的图解形式，在衍射几何分析、解释各类成像原理时是关键工具。方便、直观。 劳埃方程组：给出了衍射的实质，是衍射学的基础。2.这四种形式的作用等效，所反映的衍射规律是一致的，而且可由一种推导出另三种，可以互相衍变。3.四种形式只是说明在一定条件下，某一种平面反射的必要条件，而没给出充分条件。4.注意厄瓦尔德作图 多晶：以任意方向画，其头部为O*，以1/为半径作一圆，使O*在圆上即反射球 以倒易点阵原点为圆心，为半径，作HKL倒易球。 方向？ =？ 单晶：作倒易平面，标出阵点指标。 分析在平面上的方位，（如（100），即，） 以1/为半径作反射球，球面过O*,思考题：,1. 晶体点阵膨胀后，衍射方位怎样变化？2. 倒易矢量、衍射矢量、倒易球的概念。3. Fe-K照射多晶-Fe（体心立方），a=2.87埃 用Ewald作图表示哪些干涉面可以衍 射？它们的方向？ 如果采用Fe-K、Fe-K同时辐射， 200的衍射线方向如何？,
