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1、1,第三章 复变函数的积分,第一节 复变函数积分的概念第二节 柯西古萨基本定理第三节 基本定理的推广第四节 原函数与不定积分第五节 柯西积分公式第六节 高阶导数第七节 解析函数与调和函数的关系,第一节 复变函数积分的概念,一、积分的定义,二、积分存在的条件及其计算法,三、积分的性质,四、小结与思考,3,一、积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,4,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指
2、当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.,5,2.积分的定义:,6,(,7,关于定义的说明:,8,二、积分存在的条件及其计算法,1. 存在的条件,9,10,根据线积分的存在定理,11,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,12,在形式上可以看成是,公式,13,2. 积分的计算法,14,在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.,15,例1,解,直线方程为,1
3、6,这两个积分都与路线C 无关,17,例2,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,18,(2) 积分路径的参数方程为,19,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,20,例3,解,积分路径的参数方程为,21,例4,解,积分路径的参数方程为,22,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,23,三、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,24,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,25,例5,解,根据估值不等式知,26,27,四、小结与思考,本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有
4、跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法.,28,思考题,29,思考题答案,即为一元实函数的定积分.,放映结束，按Esc退出.,30,第二节 柯西古萨基本定理,一、问题的提出,二、基本定理,三、典型例题,四、小结与思考,31,例1,解,直线方程为,32,这两个积分都与路线C 无关,33,在形式上可以看成是,公式,34,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,35,基本定理,柯西古萨基本定理,定理中的 C 可以不是简单曲线.,此定理也称为柯西积分定理.,柯西介绍,古萨介绍,36,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21
5、 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,37,Goursat,Born: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris, France,古萨资料,38,关于定理的说明:,(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界,(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界,定理仍成立.,39,三、典型例题,例1,解,根据柯西古萨定理, 有,40,例2,证,由柯西古萨定理,41,由柯西古萨定理,由上节例4可知,42,例3,
6、解,根据柯西古萨定理得,43,44,四、小结与思考,通过本课学习, 重点掌握柯西古萨基本定理:,并注意定理成立的条件.,45,思考题,应用柯西古萨定理应注意什么?,46,思考题答案,(1) 注意定理的条件“单连通域”.,(2) 注意定理的不能反过来用.,放映结束，按Esc退出.,47,第三节 基本定理的推广,一、问题的提出,二、复合闭路定理,三、典型例题,复合闭路定理,四、小结与思考,48,一、问题的提出,根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.,49,二、复合闭路定理,1. 闭路变形原理,50,51,得,52,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的
7、值.,闭路变形原理,说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,53,2. 复合闭路定理,那末,54,55,三、典型例题,例1,解,依题意知,56,根据复合闭路定理,57,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,58,例3,解,59,由复合闭路定理,此结论非常重要, 用起来很方便, 因为不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线内即可.,60,四、小结与思考,本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点.,常用结论:,61,思考题,复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题?,62,思考题答案
8、,利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.,使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向.,放映结束，按Esc退出.,63,第四节 原函数与不定积分,一、主要定理和定义,二、典型例题,三、小结与思考,64,一、主要定理和定义,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图),1. 两个主要定理:,65,66,定理二,证,利用导数的定义来证.,67,由于积分与路线无关,68,69,由积分的估值性质,70,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,71,2. 原函数的定义:,原函数之间的关系:,证,72,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论
9、可知:,证毕,73,3. 不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),74,证,根据柯西-古萨基本定理,证毕,说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,75,二、典型例题,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,76,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),77,例3,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,78,例3,另解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,79,例4,解,利用分部积分法可得,课堂练习,答案,80,例5,解,81,例6,解,所以积分与路线无关,根据牛莱公式:,82,三、小结与思考,本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼兹公式. 在
10、学习中应注意与高等数学中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.,83,思考题,解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?,84,思考题答案,两者的提法和结果是类似的.,两者对函数的要求差异很大.,放映结束，按Esc退出.,85,第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,86,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,87,88,二、柯西积分公式,定理,证,89,90,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与
11、R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,91,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,92,三、典型例题,例1,解,93,由柯西积分公式,94,例2,解,由柯西积分公式,95,例3,解,由柯西积分公式,96,例,解,根据柯西积分公式知,97,例5,解,98,例5,解,99,由闭路复合定理,
12、得,例5,解,100,例6,解,根据柯西积分公式知,101,比较两式得,102,课堂练习,答案,103,四、小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.,柯西积分公式:,104,思考题,柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推广到无界区域中?,105,思考题答案,可以.,其中积分方向应是顺时针方向.,放映结束，按Esc退出.,106,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, France
13、Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,107,第六节 高阶导数,一、问题的提出,二、主要定理,三、典型例题,四、小结与思考,108,一、问题的提出,问题:,(1) 解析函数是否有高阶导数?,(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1) 解析函数有各高阶导数.,(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,109,二、主要定理,定理,证,110,根据导数的定义,从柯西积分公式得,111,112,113,再利用以上方法求极限,114
14、,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推, 利用数学归纳法可证,证毕,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,115,三、典型例题,例1,解,116,117,根据复合闭路定理,118,119,例2,解,120,121,例3,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,122,123,课堂练习,答案,124,例4,解,125,根据复合闭路定理和高阶导数公式,126,127,例5,(Morera定理),证,依题意可知,128,参照本章第四节定理二, 可证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,129,四、小结与思考,高阶导数公式是复积分的重要公式.
15、它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.,高阶导数公式,130,第七节 解析函数与调和函数的关系,一、调和函数的定义,二、解析函数与调和函数的关系,三、小结与思考,131,一、调和函数的定义,定义,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,拉普拉斯,132,二、解析函数与调和函数的关系,1. 两者的关系,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证,133,根据解析函数高阶导数定理,证毕,134,2. 共轭调和函数的定义,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,135,3. 偏
16、积分法,如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.,解,例1,136,137,得一个解析函数,这个函数可以化为,答案,课堂练习,138,4. 不定积分法,不定积分法的实施过程:,139,将上两式积分, 得,140,例3,解,根据调和函数的定义可得,141,所求解析函数为,142,例6,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,143,144,三、小结与思考,本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.,应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,2. 满足柯西黎曼方程ux= vy, vx= uy,的v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.,放映结束，按Esc退出.,145,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France,
