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1、1,第三章 多 自 由 度体系的振动,2,第三章 多自由度体系的振动, 3.1 两个自由度体系的自由振动 3.2 多自由度体系的自由振动 3.3 主振型的正交性和正则坐标 3.4 多自由度体系的强迫振动,3,很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系（multi-degree of freedom system）计算。,3.1 两个自由度体系的自由振动,对具有无限个自由度的弹性结构，精确地处理其振动问题：有时是非常困难的，在某些情况下也并不必要。,在某些特定条件下可对问题作一些简化假定，使一个无
2、限自由度体系离散为有限多个自由度体系，使原来的问题变得容易求解，能获得原结构体系的主要属性和特征。,针对两个自由体系，介绍三种常用的方法： 平衡力系法、刚度法、柔度法,4,1、平衡力系法 如图，两集中质量 和 通过三个弹簧 、 和 相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为 和 。,3.1 两个自由度体系的自由振动,根据两质量块的平衡条件，可以得到：,5,表示成矩阵形式：,式中：,整理：,3.1 两个自由度体系的自由振动,2个自由度体系的自由振动写成一般形式：,6,对于图中结构体系，有,3.1 两个自由度体系的自由振动,7,假设两个质点为简谐振动，上式的解设为：,位移振幅 和 ，
3、以及频率 和相位角 均为待定参数。,3.1 两个自由度体系的自由振动,8,1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频率 和相同的相位角 。,2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：,3.1 两个自由度体系的自由振动,9,3.1 两个自由度体系的自由振动,齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零，即:,该式是固有频率应满足的条件，称为频率方程或特征方程。（eigen equation or characteristic equation）,利用这个方程可计算固有频率,10,展开上式，求得 的两个根为:,正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，即质量和弹簧刚度
4、。,3.1 两个自由度体系的自由振动,具有两个自由度的体系共有两个自振频率，,表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率（fundamental frequency）； 称为第二圆频率。,11,比值所确定的振动形式就是与第一圆频率 相应的振型，称为第一振型或基本振型（fundamental mode）,分析频率各自对应的振型,3.1 两个自由度体系的自由振动,和 表示第二振型中质点1和2的振幅。,下标与质量 和 相对应，上标表示模态号码。,由于模态方程是齐次的，所以 及 只有相对关系。,12,振型计算公式,频率计算公式,频率方程,振型方程,为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0,
5、展开是2的二次方程，解得2 两个根为：,可以证明这两个根都是正根。,与2相应的第二振型：,因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求与1相应的第一振型：,13,2 的两个根均为实根；,矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。,故矩阵k为正定矩阵。,k11k22-k12k210,2 的两个根均为正根；,14,与2相应的第二振型：,求与1相应的第一振型：,2个自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。,在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。,3.1
6、两个自由度体系的自由振动,15,方程的全解:,其中， 、 、 和 由初始条件确定。,3.1 两个自由度体系的自由振动,一般情况下，体系的自由振动不是主振动，而是两种不同频率及其振型的组合振动:,16,例 试分析图示结构体系的固有频率和振型。已知： 。,解：体系的运动方程为：,3.1 两个自由度体系的自由振动,17,体系的运动方程为：,设方程的解为：,3.1 两个自由度体系的自由振动,上式有非零解的条件是系数行列式为零：,展开行列式，可以求得,18,第一模态（振型）为两个质量一起振动，无相对位移，中间一个弹簧不起作用，只有第一和第三个弹簧起作用，其结果类似于质量为2m、弹簧系数为2k的单自由度体
7、系的振动；,以横坐标表示系统的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅，体系的主振型图。,第二模态（振型）为两个质量作相反振动，中间一个弹簧的中点始终不动。,计算振型：,3.1 两个自由度体系的自由振动,19,1、主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为体系的主振动。,2、各点同时经过静平衡位置，并同时到达最大偏移位置，以确定的频率和振型作简谐振动。,3.1 两个自由度体系的自由振动,3、自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振频率由特征方程求出。4、每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。5、自振频率和主振型是体系本身的固有特
8、性。,总结：,20,2、刚度法,3.1 两个自由度体系的自由振动,如图，具有两个集中质量的结构体系，两个自由度,21,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).,3.1 两个自由度体系的自由振动,22,例：,质量集中在楼层上m1、m2 ，,层间侧移刚度为k1、k2,k21,k11,解：求刚度系数：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22,k12,k22=k2 , k12=k2,1)当m1=m2=m,k1=k2=k,代入频率方程：,23,求振型：,1第一主
9、振型：,Y21=1.618,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,Y22=0.618,Y11=1,第二主振型,24,2)当m1=nm2 , k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=k2,求频率：,求振型：,如n=90时,当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）,第一振型：,第二振型：,特征方程：,25,建立振动微分方程：（建立位移协调方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当时惯性力,作用下所产生的静力位移。,3、柔度法,3.1 两个自由度体系的自由振动,26,3.1 两个自由度体系的自由振动,是结构体系的柔度系数(flexibility coefficie
10、nt)，即体系在点j承受单位力时，在点i产生的位移。,27,设解的形式为:,3.1 两个自由度体系的自由振动,设各质点按相同频率和初相角作简谐振动。,主振型的位移幅值 就是结构体系在此主振型惯性力幅值 作用下所引起的静力位移。,28,令系数行列式等于零，可得到 和 的非零解，即:,用柔度系数表示的频率方程或特征方程。,3.1 两个自由度体系的自由振动,29,求得固有圆频率的两个值为:,解出 的两个根,3.1 两个自由度体系的自由振动,体系频率的数目总等于其自由度数目,30,体系的第一阶主振型:,3.1 两个自由度体系的自由振动,体系的第二阶主振型:,31,例:求简支梁的自振 频率和主振型。,解
11、：1）求柔度系数,求得频率：,求得主振型：,32,例: 求简支梁的自振 频率和主振型。,另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算 ：,对称情况：,反对称情况：,33,例：求图示体系对称振动情况下的频率。,2,1,0.5,1,1,0.875,0.25,34,Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。,例3.求图示体系的频率、振型,解:,令,例4. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,例5 求图示体系对称振动情况下的频率。,解：
12、,因为结构和质量分布均匀对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构计算。,对称结构,以求对称振型为例说明 中系数的求解。首先求出半边结构在集中质量上分别作用有单位集中力产生的弯矩图。,(a) M1图,(b) M2 图,为了求柔度系数，可以在另外的静定基本结构上加单位力并作弯矩图。,1,41,总结：在2个自由体系自由振动问题中,4）体系的自振频率和主振型是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数和质量分布有关，与外荷无关。,3）每个自振频率有其相应的主振型；,2）振动频率个数与自由度个数一致，自振频率可通过特征方程计算；,1）主要问题是确定体系自振频率及其相应主振型,3.1 两个自
13、由度体系的自由振动,42,y1,yi,yn,ri,动平衡方程：,ri,ri 应满足刚度方程,kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零）时在点i所需施加的力。,.,., 3.2 多自由度体系的自由振动,43,或：,.,.,多自由度体系自由振动方程为:, 3.2 多自由度体系的自由振动,44,得振幅方程：, 3.2 多自由度体系的自由振动,线性二阶常微分方程组，矩阵 和 是时不变和对称的方阵。,设方程的解的形式为:,是位移幅值向量:,45,得频率方程：, 3.2 多自由度体系的自由振动,齐次方程，有非零解的条件为系数行列式等于零，即:,n个自由度的结构体系，上式展开后得到关于圆频
14、率 的n次代数方程:,求方程的n个根 ，得到体系的n个自振频率 。,最小的频率 称为基本频率。,把全部自振频率按照从小到大的顺序进行排列而成的向量，称为频率向量。,46,线性齐次方程组，如果 是方程组的解：,计算相应的主振型向量:,令：, 3.2 多自由度体系的自由振动,对于第i个频率 ，有:,为与频率 相应的主振型向量。,也是方程组的解（这里C为任一常数）。,47,1)从特征问题中解得的振型的幅值是任意的， 2)只有主振型的形状是唯一的。,为了使主振型具有确定值，可以通过以下几种振型标准化（mode normalization）的方法来进行处理。, 3.2 多自由度体系的自由振动,1）、指定
15、某元素为1 规定主振型向量的某个元素为1，例如取第一元素的值为1，这样以这个元素为标准就可确定其他元素的大小。,2）、指定最大元素为1 取每一振型向量的最大值为1，即可确定其他元素的大小。,48,例：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。,解：1）求刚度系数：,k,k33=k/5,刚度矩阵K和质量矩阵M：,49,解得：,2）求频率：代入频率方程： K2 M0,展开得：,50,3）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后两式：（令Y3i=1）,（a）,51,Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同， 为负时，表示与单位位移方向相反。,52,利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：,其展
16、开式:,是关于的n次代数方程,先求出i再求出频率i, 3.2 多自由度体系的自由振动,由刚度法振幅方程：,令,前乘 后得:,得频率方程：,53,将i代入：,可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。, 3.2 多自由度体系的自由振动,可求出n个主振型.,54,例:,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。=1/k,11=,解：1）求柔度系数：,k,柔度矩阵和质量矩阵M：,21,31,32=4,22=4,13=,23=4,33=9,12=,55,展开得:,解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151,三个频率为：,3）求主振型： （令Y3i=1）将1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前两式：,2）求频率：,解得：,同理可得第二、第三振型,
