结构动力学课件.ppt

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1、,结 构 动 力 学,结构力学,（）,授 课 内 容,13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,13.4 两个自由度体系的自由振动,13.1.1 动力计算的特点,13.1 动力计算的特点和动力自由度,13.1.2 动力荷载的分类,13.1.3 动力计算的自由度,13.1.1 动力计算的特点,结构动力学：,研究结构在动力荷载作用下的动力反应。,（1）地震现场录像,（2）地震振动台实验录像,例如地震荷载：,动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置 随时间而变化。,（1）Tacoma大桥风毁录像,（2）南浦大桥风洞实验录像,例如风荷载：,13.1.1 动力计算的特点,荷载的变化周期是结构自振周期5

2、倍以上，则可看成静荷载。,用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型,用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型,铝质模型的自由振动记录,有机玻璃模型的自由振动记录,用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型,有机玻璃模型的自由振动记录,铝质模型的自由振动记录,动力计算与静力计算的区别：,加速度：可否忽略,动力计算的内容：,1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型,2）荷载的变化规律及其动力反应,（自由振动）,（受迫振动）,1）牛顿运动定律,2）惯性力,动静法,（达朗伯原理）,特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！,建立微分方程，,13.1.1 动力计算的特点,？,？,如何考虑,13

3、.1.2 动力荷载的分类,1）周期荷载,2）冲击荷载,3）随机荷载,简谐荷载,爆炸荷载1,爆炸荷载2,突加荷载,地震波,一般周期荷载,结构动力学的研究内容和任务：,第二类问题：反应分析（结构动力计算）,第一类问题：参数（或称系统）识别,13.1.2 动力荷载的分类,第三类问题：荷载识别,第四类问题：控制问题,13.1.2 动力荷载的分类,求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依据。,本课程主要任务是：,安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内 力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过 规范的许可值)。

4、,13.1.2 动力荷载的分类,可靠性设计依据：,结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”,13.1.3 动力计算的自由度,确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。,动力自由度：,这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。,m,E、A、I、R,体系振动自由度为？,无限自由度,(忽略),三个自由度,忽略轴向变形,忽略转动惯量,自由度为？,单自由度,m,例：简支梁：,13.1.3 动力计算的自由度,集中质量法：,将分布质量集中到某些位置。,例1：,2EI,(a)单自由度,(b)两个自由度,例2：,(c)三个自由度,(d)无限自由度,13.1.3 动力计算的自由度,例3：,例4：,确定体系

5、的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响,集中质量法几点注意：,1）体系动力自由度数不一定等于质量数。,一个质点两个DOF,两个质点一个DOF,两个质点三个DOF,2）体系动力自由度与其超静定次数无关。,3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。,13.1.3 动力计算的自由度,水平振动时的计算体系,3个自由度,4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,自由度与质量数 不一定相等,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,13.2 单自由度体系的自由振动,13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,13.2.4 阻

6、尼对自由振动的影响,一、自由振动,（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）,1.自由振动产生原因,体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,2.研究单自由度体系的自由振动重要性,（1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,（2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性 自振频率和振型,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,以一悬臂柱为对象：,自由振动,初始位移,初始速度,同时作用,m,模型2,隔离体,理解两模型中“k”含义,m,k,模型1,“弹簧小车”,建立自由振动的微分方程:

7、,两种方法：,建立方程,1）刚度法：,以质量为隔离体,模型2,模型1,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,建立自由振动的微分方程:,两种方法：,建立方程,2）柔度法：,M点位移,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,惯性力,建立方程,1）刚度法：,以质量为隔离体,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,建立方程,2）柔度法：,以梁为对象建立位移方程,13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立,（1）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。,方法小结,（2）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，需要用到柔度系数。,刚度法

8、,柔度法,（3）方法选择,谁较简单？,顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！,原方程：,通解为：,由初始条件：,解为：,13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答,化成单项三角函数的形式:,解又可表达为：,将其展开：,相比较得：,则：振幅,自由振动总位移：,初始相位角,13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,由式:,可知,时间经 后，质量完成了一个振动周期。,用T 表示周期，,周期函数的条件:y(t+T)=y(t),1)自振周期计算公式：,2)自振频率计算公式：,用 表示频率：每秒钟内的振动次数,泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固

9、有周期为2.90秒，,大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，,金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒,例13.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率。,m,EI,解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法）,思考 比较图示结构的自振频率,(a),(b),(c),(a)(b)(c),13.2.3 结构的自振周

10、期和自振频率,例13.2 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为 cz=0.6N/cm3，基础底面积 A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。,解:让振动质量向下单位位移 需施加的力为：,k=cz A=0.610320=12103 kN/m,自振频率为：,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,例13.3 如图所示简支梁，将一重为W的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。,W,解:自由落体后，梁以一定的 初速度上下作自由振动，其振动平衡位置为 yst。,设：,其中：,初始条件：,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,1.例如设:则,则振动规

11、律为：,具体例子比较:,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,2.如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地放置在梁中点，求该系统的振动规律。,比较结果可知，h10cm时的振幅位移是h0的7倍,则振动规律为：,1 求图示结构的自振频率。,作业,2 列出图示结构的运动方程。,思考题P286页13-1，13-2，13-4，13-5，13-6，13-7,作业,例13.4 求图示结构的自振频率。,L/2,M1图,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,例13.5 求图示结构的频率。,例13.6 列出图示结构的运动方程。,解：是单自由度体系。以 建立位移方程

12、。,1/2,13.2.3 结构的自振周期和自振频率,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,m,k,1)不考虑阻尼,m,k,y=0,c,2)考虑阻尼,阻尼是客观存在的,振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。,（1）产生阻尼的原因,1)结构与支承之间的外摩擦,2)材料之间的内摩擦,3)周围介质的阻力,（2）阻尼力的确定,1)与质点速度成正比,2)与质点速度平方成正比,3)与质点速度无关,粘滞阻尼,m,有阻尼模型,建立动平衡方程,标准化得:,其中:,称为阻尼比,二阶常微分方程可变为：,设特解为：,特征方程为：,解为：,（1）,令：,则代数方程解：,13.2.4 阻尼对自由振动的

13、影响,小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动,则微分方程通解为：,也可:,1)是一种衰减振动,2)对自振频率的影响,当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,阻尼对自由振动的影响,1)是一种衰减振动,阻尼对固有振动蘋率的影响,阻尼对自由振动衰减速率的影响如图右,2)对自振频率的影响,当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。,具有四种阻尼水平体系的自由振动,3)对振幅的影响,振幅为 随时间衰减相邻两个振幅的比。,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,4)阻尼比的测定,对数递减率：

14、,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,对数衰减率与阻尼比之间的精确和近似关系,4)阻尼比的测定,对数递减率：,设yk 和 yk+n 相隔n个周期，则：,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,自由振动的振幅减少50%所需要的循环次数,4)阻尼比的测定,对数递减率：,设yk 和 yk+n 相隔n个周期，则：,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,体系自由振动的加速度记录,（2）,解为：,则微分方程通解为：,再由初始条件得：,（临界阻尼）,（重根）,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,例13.7 图示屋盖系统加一水平力P=9.8kN，测得侧移y0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周

15、期T=1.5s 及一个周期后的侧移y1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,例13.8 已知结构的振动周期为T=0.3s，=0.1，y0=1mm,试求振幅衰减到初始位移的5%时（y=0.005mm)以下所需的时间（以整周计算）。,解1：,即经过5周后，振幅就减到了5%以下。,解2：,13.2.4 阻尼对自由振动的影响,13.3.1 单自由度体系强迫振动微分方程的建立,13.3 单自由度体系的强迫振动,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,13.3.5

16、有阻尼时的杜哈梅积分,强迫振动：,结构在动力荷载作用下的振动,13.3.1 单自由度体系强迫振动微分方程的建立,以一悬臂柱为例：,m,k,模型1,m,模型2,隔离体,1）柔度法：,以柱子为对象,2）刚度法：,以质点为对象,建立方程,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,简谐荷载：,解的形式：,运动方程：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,方程全解：,平稳阶段：,动力系数：,共振,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,例13.9 如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4，I=726.7cm3，E2.1108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n40

17、0r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数和最大正应力。,EI,Q,2)荷载频率：,3)动力系数：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,=,4)跨中截面最大正应力：,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,解释：,惯性力与简谐力同时达到最大,惯性力与简谐力的最大值为：,例13.10 前提同例13.2，当机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。,解:由例13.2已求出,k=12103 kN/m,1)荷载频率:,2)动力系数：,3)竖向振动振幅:,4)地基最大压力：

18、,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,在共振区,例13.11 求图示结构的运动方程。,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,解：以梁为对象建立位移方程,13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,其中：,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,t,瞬时冲量,(Duhamel 积分),时刻的微分冲量对t 瞬时(t)引起的动力反应,微分冲量,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,杜哈梅积分,（1）突加荷载,质点围绕静力平衡 位置作简谐振动,举例说明,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,动力系数：,（2）短时荷载,1）方法一：,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反

19、应,阶段(0t u)同突加荷载：,阶段(t u)：体系以 作自由振动。,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,阶段(0t u)同突加荷载：,1)当0 u,2)当 u,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,讨论主要针对u展开,1）当u T/2，最大动 位移发生在阶段,2）当0u T/2，最大动 位移发生在阶段,动力系数反应谱(T,),13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,（3）线性渐增荷载,对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大的关系。,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,动力系数反应谱(T,tr),讨论：与tr的关系,13.3.3 一般荷载作用下结

20、构的动力反应,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,例13.12 有一重物Q=2kN从20cm高处落到梁的中点，求梁的最大弯矩。已知梁的自重为W=20kN，I=36104cm4,E=34102kN/cm2。,20cm,Q,3m,3m,W,解：结构在瞬时冲量作用下的运动方程：,重物与地面接触时的速度为：,冲量为：,1）求冲量：,结构的最大位移：,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,20cm,Q,3m,3m,W,2）求频率：,等效静荷载：,将梁的重量一半作用在梁的中间，一半作用在梁的两边。,跨中最大弯矩：,跨中最大位移：,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,例13.13 关于

21、yst的讨论。,1）质点作竖向自由振动时的yst,2）质点作竖向强迫振动时的yst。,简谐荷载,13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应,2）质点作竖向强迫振动时的yst,突加荷载,同样短期荷载、线性渐增荷载，运动方程中的yst均由荷载的P0引起的。,3）质点作竖向强迫竖向振动时的总位移,竖向总位移=质点重量引起的静位移+外荷载引起的动位移,外荷载引起动位移的最大值,（荷载不作用在质点上）,（荷载作用在质点上）,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,计算简图:,建立平衡方程：,简谐荷载：,方程的解：,齐次解（）特解（）,振幅：,m,隔离体,设特解：,动力系数：,相位角：,动力系数反应

22、谱,1）当 或 时，可 以不考虑阻尼的影响,静荷载,位移为0,2）当 时，阻尼作用明显,共振：,共振区,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,解:由例13.2已求出,1)荷载频率:,2)动力系数：,3)竖向振动振幅:,4)地基最大压力：,例13.14 当机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为400r/min,考虑阻尼的影响,求振幅及地基最大压力。,13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响,13.3.5 有阻尼时的杜哈梅积分,由冲量 引起的振动位移：,时刻的微分冲量对t 瞬时(t)引起的动力反应：,微分冲量,有阻尼杜哈梅积分,地震作用,有阻尼的平稳振动:,13.4.1 两个

23、自由度体系自由振动微分方程的建立,13.4 两个自由度体系的自由振动,13.4.2 频率方程和自振频率,13.4.3 主振型及主振型的正交性,13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,（1）因结构特征必须简化为多自由度体系,多层房屋、,不等高排架等,（2）为满足计算精度的要求,烟囱、,高耸建筑物等,基本方法,刚度法：,柔度法：,按结构的位移协调条件建立运动方程,按质量的力平衡条件建立运动方程,（1）柔度法,m1,m2,1,2,1,2,建立方程：,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,柔度系数：,（2）刚度法,质量隔离体,列平衡方程：

24、,1,2,如何确定？,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,m1,m2,刚度系数:k,1,2,得到运动方程：,13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立,13.4.2 频率方程和自振频率,设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：,（1）柔度法,微分方程：,（2）,求得：,（1）,把（1）式、（2）式代入微分方程：,13.4.2 频率方程和自振频率,齐次线性方程组:,非零解,频率方程,关于的二次代数方程,得：,方程两正根为:,自振频率,13.4.2 频率方程和自振频率,（2）刚度法,微分方程：,设解为：,13.4.2 频率方程和自振频率,（1）,（2）,把（1）式、（2）式代入微分方

25、程：,可求得：,频率方程：,齐次线性方程组：,自振频率：,13.4.2 频率方程和自振频率,较小的 第一频率（基频），为第二频率。,13.4.3 主振型及主振型的正交性,（1）主振型,(柔度法),1）当,若：,13.4.3 主振型及主振型的正交性,（1）主振型,(柔度法),2）当,若：,则，用刚度系数表示的主振型为：,平衡方程：,13.4.3 主振型及主振型的正交性,（3）主振型的正交性,13.4.3 主振型及主振型的正交性,运动方程：,按 振动时：,位移与加速度同时达到最大，因此 可以看作是最大惯性力产生的静位移。,13.4.3 主振型及主振型的正交性,在梁上先作用P1,再作用P2,整个过程

26、中体系做的功为：,在梁上先作用P2,再作用P1,整个过程中体系做的功为：,功的互等定理,（3）主振型的正交性,用功的互等定理来证明。,第一主振型,第二主振型,功的互等定理,整理得：,第一正交关系,13.4.3 主振型及主振型的正交性,如何解释正交性？,利用第一正交关系,1)同乘,2)同乘,这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，各主振型能单独存在而不相互干扰。,13.4.3 主振型及主振型的正交性,例13.15 求简支梁的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。,2）代入方程,3）自振频率,13.4.3 主振型及主振型的正交性,4）主振型

27、,第一主振型,第二主振型,5）验证主振型的正交性,故满足正交性条件,13.4.3 主振型及主振型的正交性,利用对称性另解：,若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算。,解：,1）简化,2）图乘,3）自振频率,13.4.3 主振型及主振型的正交性,例13.16 求图示刚架的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。,解：,1）求刚度系数,k11=k1+k2,k21=-k2,k22=k2,k12=-k2,2）频率方程,13.4.3 主振型及主振型的正交性,若：m1=m2=m，k1=k2=k,3)主振型,第一主振型,第二主振型,Y2(1)=1.618,Y1(1)=

28、1,Y2(2)=0.618,Y1(1)=1,13.4.3 主振型及主振型的正交性,若：m1=nm2，k1=nk2,讨论,2）主振型,取 n=90,1）频率方程,3）验证主振型的正交性,13.4.3 主振型及主振型的正交性,称为“鞭梢效应”,13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解,结构位移形状保持不变的振动形式,主振型:,=常数,设 解,实际上是像一个单自由度体系在振动,特殊形式,条 件,初始位移和初始速度应与此主振型相对应,实际上，初始时刻的 y0 或 v0 通常不能完全 与某一振型相对应。,一般解,13.5.1 柔度法,13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,13.5.2

29、刚度法,13.5.1 柔度法,简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动,柔度法,（1）建立振动微分方程,位移方程,（2）动位移的解答及讨论,齐次解（）特解（）,设特解：,方程的解：,其中：,讨 论,静荷载作用,来不及反应,且 不全为零时,共振,13.5.1 柔度法,振幅：,（3）动内力幅值的计算,由Y1、Y2值可求得位移和惯性力,位移：,惯性力：,外荷载：,惯性力幅值,叠加公式,动内力有正负号，叠加要注意！,13.5.1 柔度法,例13.17 求图示结构质点1和2点的动位移幅值和动弯矩幅值图。已知：,解：,1）求柔度系数,2）求频率,自振频率,荷载频率,13.5.1 柔度法,3）计算,4）位移、惯性力幅

30、值,13.5.1 柔度法,5）求质点1、2处弯矩幅值,6）质点1,在两自由度体系中 没有统一的动力系数,13.5.1 柔度法,13.5.2 刚度法,（1）建立微分方程,（2）设特解,只考虑平稳振动,（3）求D1，D2和D3,（4）求位移幅值,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,有关动内力计算，同柔度法静力法,例13.18 二层刚架，求其动力反应谱。,解：,1）求刚度系数,k11=k1+k2,k21=-k2,k22=k2,k12=-k2,2）求位移幅值,P,0,P,0,13.5.2 刚度法,13.5.2 刚度法,3）讨论：,考察 m1=m2=m，k1=k2=k 的情况,方程 D00 的根,可见在

31、两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。,两质点的位移动力系数不同,13.5.2 刚度法,如图示对称结构在对称荷载作用下，讨论其共振情况。,1）刚度系数,2）第二主振型,3）计算,当=2，D0=0，且有,均不,13.5.2 刚度法,就例13.18，进一步分析动力系数。,yst1,yst2=P/k,1）静荷载作用下,yst1=yst2=P/k,2）动荷载作用下,Y2,Y1,Qst1=P,3）位移动力系数,4）剪力动力系数,在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数,13.5.2 刚度法,仍就例13.18，对结构进行控制。,2）位移幅值,1）刚度系数,k11=k1+k2,k21=-k2,k22=

32、k2,k12=-k2,k2,P,一层楼面不振动,这说明在右图结构上，适当加以m2k2系统可以控制 m1 的振动。,3）设计吸振器,根据m2的容许振幅Y2,Pk2,13.5.2 刚度法,例13.19 如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，1）需加动力吸振器吗？2）设计吸振器(容许位移为1cm)。,k2,m2,解：,1）求频率,2）设计吸振器,（频率比在共振区内）,吸振器刚度,吸振器质量,Q,13.5.2 刚度法,吸振器频率,13.6 一般多自由度体系的自由振动,13.6.1 柔度法,13.6.2 刚度法,13

33、.6.3 主振型的正交性,13.6.1 柔度法,质体动位移是由n个惯性力引起的。,基本思路:,位移方程：,13.6.1 柔度法,柔度系数物理意义：,写成矩阵形式：,运动方程：,设解为：,振动方程:,主振型:,将其展开，得：,频率方程:,n个主振型,基频,13.6.1 柔度法,要有非零解，得：,代入得:,例13.20 如图所示三层刚架，横梁刚度为无穷大，用 柔度法求其自振频率和主振型。,解：,1）求柔度系数,13.6.1 柔度法,柔度矩阵:,质量矩阵:,2）求频率,由频率方程:,展开式为：,方程三个根为:,三个频率为:,13.6.1 柔度法,3）求主振型,由振型方程:,13.6.1 柔度法,1,

34、由于是奇次方程组只有两个独立方程,振动模态：,第一主振型,第二主振型,第三主振型,13.6.1 柔度法,13.6.2 刚度法,取质点为隔离体，列力的平衡方程。,基本思路:,（1）惯性力作用,（2）取质量为隔离体,（3）结构弹性力,理解kij的物理意义,13.6.2 刚度法,Ki的求解：,运动方程：,写成矩阵形式：,13.6.2 刚度法,或缩写成：,设解为：,Y 位移幅值向量,振动方程：,频率方程：,主振型：,13.6.2 刚度法,写成矩阵形式：,或缩写成：,同柔度法，可得出 n 个自振频率,代入得：,例13.21 按刚度法求解例13.20。,k33=k/5,2）求刚度矩阵:,13.6.2 刚度

35、法,3）求频率,由频率方程：,展开式为:,方程三个根为：,三个频率为:,13.6.2 刚度法,4）求主振型,由振型方程：,标准化：,13.6.2 刚度法,由振型通式：,13.6.2 刚度法,对两个自由度体系，我们已经证明过第一正交关系：,13.6.2 主振型的正交性,写成矩阵形式:,第一正交关系,可缩写成:,推广至n个自由度体系:,设，对应的振型为,设，对应的振型为,则有:,多自由度体系第一正交关系,上述关系也可用另外方法导出。,13.6.2 主振型的正交性,用 前乘（1）式：,推导如下:,方程:,用 前乘（2）式：,把（4）式两边转置:,设:,设:,由于一般:,多自由度体系第一正交关系,13

36、.6.2 主振型的正交性,结果与前面介绍的方法完全相同,多自由度体系第二正交关系,对于l=k 时，定义：,广义刚度,广义质量,用 前乘（1）式：,把（7）式代入（3）式:,如:,例13.22 验算例13.21主振型的正交性。,解：,1）三个主振型为,2）验算第一正交性,同理：,13.6.2 主振型的正交性,例13.22 验算例13.21主振型的正交性。,三个主振型为：,3）验算第二正交性,13.6.2 主振型的正交性,13.7 多自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动,13.7.1 主振型矩阵与正则坐标,13.7.2 振型叠加法,13.7.1 主振型矩阵与正则坐标,（1）主振型矩阵,第一振型,主

37、振型矩阵,13.7.1 主振型矩阵与正则坐标,（2）正则坐标,任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：,可缩写成：,质点位移列阵,主振型矩阵,正则坐标,坐标转换公式,？,13.7.1 主振型矩阵与正则坐标,方程：,也可写成：,前乘：,13.7.1 主振型矩阵与正则坐标,展开：,方程：,因此得：,广义质量：,质点位移：,广义坐标：,主振型矩阵:,13.7.1 正则坐标与主振型矩阵,13.7.1 正则坐标与主振型矩阵,广义质量矩阵,广义刚度矩阵,13.7.1 正则坐标与主振型矩阵,同理:,其中:,（1）多自由度体系的强迫振动,13.7.2 振型叠加法,运动方程：,矩阵形式：,“耦合”,缩写成：

38、,（2）利用正则坐标使方程解耦,原方程：,新方程:,广义质量矩阵,广义刚度矩阵,13.7.2 振型叠加法,广义荷载列阵,质点的位移:,振型叠加法,n个独立方程,13.7.2 振型叠加法,新方程:,13.7.2 振型叠加法,按振型叠加法计算动力反应的步骤:,求惯性力，把惯性力和干扰力共同作用于结构；,求结构的动内力或总内力。,求振型：、；,求广义质量和荷载：、,求广义坐标：,求质点的运动方程:,计算刚度系数或柔度系数，形成、或，然后计算结构的自振频率:、；,13.7.2 振型叠加法,例13.23 在例13.15的1号质点上作用简谐力 用振型叠加法求结构最大动弯矩图。,（1）求广义质量,13.7.

39、2 振型叠加法,（2）求广义荷载,（3）求广义坐标,（4）求质点的运动方程,13.7.2 振型叠加法,（5）求质点动位移和惯性力的最大值,（6）求梁最大动弯矩,把简谐力、惯性力的最大值作用于梁上，按静力求解。,13.7.2 振型叠加法,（7）比较第一振型与第二振型对质点位移的影响,质点1：,质点2：,结论：在实际工程中，对于多自由度体系，可根据精度要求计算到某个振型即可。,注意：此题计算的是动弯矩，若要求结构的总弯矩，还需加上由质点重量产生的静弯矩。,13.9 计算频率的近似法,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,13.9.2 集中质量法,13.9.3 矩阵迭代法,13.9.4 结构的地震分

40、析,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能（T）和应变能（U）之和应等于常数。,瑞利法的出发点:,能量守恒定律,以梁的自由振动为例:,设:,动能:,最大动能:,梁的自由振动,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,应变能:,最大应变能:,如梁上还有集中质量mi,假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：,所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近;结构比较容易出现的变形形式;曲率小，拐点少。,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x)。,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,解：,1）假设为抛物线:,代入

41、公式:,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,满足边界条件:,2）设精确曲线:,代入公式:,满足边界条件:,3）梁在q作用下的绕曲线:,代入公式:,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,满足边界条件:,与精确解相比，各种方法的精度还是相当高的。,例13.25 求两端固定梁的第一频率。,解：,满足边界条件：,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,梁在q作用下的绕曲线:,代入公式:,与精确值相差0.4%。,例13.26 求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,解：以各层重量 当作水平力作用在结构上，由此产生的各质点处的位移 作为第一振型的近似。,则最大变形能

42、和动能:,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,各质点处 的计算:,显然:,如 的计算:,13.9.1 能量法求第一频率瑞利法,因此:,计算过程列于下表:,与精确值相差:0.69%,13.9.2 集中质量法,等效原则：,使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。,具体作法：,将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。,例13.27 试用集中质量法求简支梁自振频率。,(0.7%）,(0.1%）,(3.1%）,(0.05%）,(4.8%）,(0.7%）,对比分析,13.9.2 集中质量法,解得：,解得：,解得：,例13.28 求自振频率。,解：,2)图乘,3)自振频率,13.

43、9.2 集中质量法,按正对称性集中,2)图乘,13.9.2 集中质量法,3)自振频率,4)自振频率汇总,13.9.2 集中质量法,13.9.3 矩阵迭代法,写成矩阵形式：,缩写成：,13.9.3 矩阵迭代法,当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。,再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到 和主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计算结果接近为止。,13.9.3 矩阵迭代法,例13.29 求自振频率和主振型。已知：,解：设,第一振型的第二次值,13.9.3 矩阵迭代法,第一振型的第三次值,把：代人方程再计算,同理：,第一振型的第四次值,13.9.3 矩阵迭代法

44、,第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。,求第二振型：,利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式：,由：,13.9.3 矩阵迭代法,将下式展开：,得：,或：,得：,13.9.3 矩阵迭代法,得：,令：,经两轮迭代后得：,故第二频率为：,再由：,因此第二振型为：,13.9.3 矩阵迭代法,求第三振型：,利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：,将上面两式展开得：,经求解得：,13.9.3 矩阵迭代法,令：,求第三频率：,故第三频率为：,13.9.4 结构的地震分析,（1）单自由度体系运动方建立,强迫振动,杜哈梅积分,（2）水平地震作用,地震时质点受到的惯性力为：,不考虑

45、阻尼,求出作用在质点上惯性力的最大值，然后按静力荷载求解。便于设计人员应用,1、单自由度体系,思路：,13.9.4 结构的地震分析,将地震位移反应的杜哈梅积分代入上式，有：,质点绝对加速度的最大值：,质点的绝对加速度即：,13.9.4 结构的地震分析,水平地震作用：,其中地震系数：,根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数值将大致增加一倍。建筑抗震规范对各地震基本烈度的地震系数都有具体的规定，查表即可。,其中动力系数：,动力系数值与地震烈度无关，可以利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计。,其中：G为质点的重量,13.9.4 结构的地震分析,动力系数：,设计反应谱：,其中：,地震作用：,场地卓

46、越周期,衰减指数,考虑结构的阻尼,13.9.4 结构的地震分析,（1）多自由度体系运动方建立,其中：,写成矩阵形式：,2、多自由度体系,13.9.4 结构的地震分析,（2）用振型叠加法求地震作用,为了使方程解耦，引入：,得：,等式两边前乘：,（1）,13.9.4 结构的地震分析,第一项：,13.9.4 结构的地震分析,第三项：,13.9.4 结构的地震分析,其中振型参与系数：,方程（1）变为：,由：,等式两边前乘：,第二项：,把（2）式代入后得：,(2),13.9.4 结构的地震分析,令：,（3）反应谱法求地震作用,得：,有：,可证明：,多自由度体系第i个质点上的地震作用：,由式（3）可得：,

47、13.9.4 结构的地震分析,振型组合：,令：,则：,把式（4）、式（5）代入：,得：,第i个质点由第j个振型引起的地震作用的最大值：,第j振型地震作用产生的效应,13.9.4 结构的地震分析,计算步骤：,求出频率与振型,求出振型参与系数：,根据自振频率：,求出自振周期：,由自振周期等求出：,由公式：,求出n组地震作用,分别计算每组地震作用下的内力，按 计算总效应。,13.9.4 结构的地震分析,例13.30 求地震作用。已知：,解：,(1)求振型参与系数：,13.9.4 结构的地震分析,(2)求自振周期,(3)求,设：设防烈度为7度，二类（一组）场地土。,13.9.4 结构的地震分析,(多遇

48、地震),查得：,13.9.4 结构的地震分析,(3)求地震作用,习题课,习题1 求图示结构的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。已知弹簧刚度为，不计杆件的轴向变形。,解:用刚度法求解,（1）求刚度系数,习题课,（2）求自振频率,将 以及刚度系数代入上式，得：,（3）求主振型,设：,求得：,习题课,设：,求得：,（4）验证主振型的正交性,习题课,习题2 图示结构在杆端A处作用有力矩，弹性支座的刚度为k,各刚性杆的质量可以不计，求各质量的最大动位移。,解:这是个单自由度体系，先建立运动方程，再求解。,习题课,消去两部分的互相作用力,求得：,可求得：,习题课,习题3 求图示结构的自振频率，其中刚性杆每单位长度具有均布质量，而弹性杆的质量可以不计。,解:采用刚度法求解。,（1）求刚度系数,（2）求自振频率,习题课,求得：,习题课,习题4 已知图（a）结构的自振频率为，由此求出图（b）和图（c）结构的自振频率，图（c）需考虑二力杆的轴向变形。,L,L,EI,EI,L,L,2EI,2EI,L,L,L,（a）,（b）,（c）,解：（1）求（b）图的自振频率（b）与（a）相比，多了一跨附属结构，对计算没有 影响，因此有：,EI,EI,EI,EI,习题课,（2）求（c）图的自振频率,（a）结构的刚度为：,（c）结构增加的刚度,二力杆与边柱是串联关系，增加的刚度：,习题课,中柱：,