结构的动力计算.ppt

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1、第13章结构的动力计算,131 动力计算的特点和动力自由度,一动荷载及其分类 动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。,静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。,动荷载按其随时间的变化规律进行分类：,二结构动力计算的内容和特点,1.动力计算的主要内容,第一类问题：反应问题,输入（动荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,第二类问题：参数（或系统）的识别,输入（动荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,第三类问题：荷载识别,输入（动荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,第四类问题

2、：控制问题,输入（动荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,控制系统（装置、能量）,2结构动力计算的目的,研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。,3动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它的除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。,强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的动力

3、反应。,三自由振动和强迫振动,自由振动 结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。,确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目，称为体系的自由度。根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。,四动力分析中的自由度,1自由度的定义,将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。,2.实际结构自由度的简化方法,为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：,（1

4、）集中质量法,平面:计轴向变形:W=2,不计轴向变形:W=1,(空间:不计轴向变形:W=2),不计轴向变形：,W=1（3）,W=2（3）,W=3（5）,W=3,W=1,结论：结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关,思考：,考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？,（2）广义坐标法,假定梁的挠度曲线为,式中,满足位移边界条件的形状函数,广义坐标,广义坐标的个数为体系的自由度数,（3）有限单元法,综合了集中质量法和广义坐标法的特点。将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。结点位移的数目等于体系的自由度数。本章主要讨论

5、集中质量法。,13-2 单自由度体系的运动方程,实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。要掌握其动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的“动静法”。,一.按平衡条件建立运动方程刚度法,惯性力,弹性力,对隔离体列平衡方程：,k刚度系数,刚度法步骤：,（1）在质点上沿位移正向加惯性力;,（2）取质点为隔离体并作受力图;,（3）根据达朗伯原理对质量m列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。,二.按位移法协调建立方程柔度法,1,对质量 m 列位移方程：,柔度系数,柔度法步骤：,（1）在质量上沿位移正方向加惯性力；,（2）求动荷载和惯性力引起

6、的位移；,（3）令该位移与质量 m 的位移相等，即得到体系的位移方程（运动方程）。,三.建立运动方程例题,例1 试建立图示刚架（a）的运动方程,解：（1）刚度法,（a）,（b）,由于横梁刚度无限大，刚架只产生水平位移。设横梁在某一时刻 t 的水平位移为 y(t),向右为正。在柱顶设置附加链杆（图b），以 y(t)作为基本未知量，用位移法列动平衡方程：,令,作,图（图c），求得,(c),(d),考虑动荷载 F(t)和惯性力,作 MP 图，求得,（2）柔度法,设横梁在任一时刻 的位移 是由动荷载 和惯性力 共同作用产生的（图e），,所以，运动方程为：,因此，横梁的位移为：,作 图（图f）,(e),

7、(f),求得,所以，运动方程为,可见，用两种方法求解后运动方程相同。,例2试建立图（a）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）。,(a),(b),解：用柔度法求解,图示结构质量 m只产生水平位移。,设质量 m 在任一,时,刻t的水平位移为，,它是由动荷载,(c),质量m的位移为,和惯性力,作用产生的，,共同,向右为正。,作 图，,求得,所以，运动方程成为,例3试建立图（a）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）。,解：仍用柔度法求解,(a),（b）,分析同例2，质量m的位移为,作 图、图,求得,(c),(d),所以，运动方程为,由此可见，动静法建立单自由度体系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算

8、动位移的起点，采用刚度法还是柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，两种方程都是一样的，对于单自由度体系：。,13-3 单自由度体系的自由振动（不计阻尼）,自由振动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。,一.自由振动运动方程,单自由度体系的自由振动及相应的弹簧质量模型如图示。以静平衡位置为坐标原点，在 t 时刻，质量 m 的位移为 y(t)。,取质量 m 为隔离体，作用在隔离体上的力：弹性力 ky(t)与位移方向相反；,惯性力,与加速度,方向相反。,动平衡方程：,刚度法建立平衡方程：,（13

9、1）,柔度法建立位移方程：,质量 m 在 t 时刻的位移y(t)是由此时作用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：,整理，,(a),单自由度体系：,(b),式（131）或（a）称为单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）,二.自由振动运动方程的解,单自由度体系自由振动微分方程写为：,（132）,式中,其通解为,当初始条件,二阶齐次线性常微分方程,式（133）还可写成,（134）,式中：,（135）,不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。,方程的解：,（133）,三.结构的自振周期和自振频率,由式（134）,y(t)是周期函数,自振周期（固有周期）,自振频率（固有频率

10、）,1.结构自振周期 和自振频率 的各种等 价计算公式,理解这些公式各符号的含义，由其中一个公式便可得到其他公式。,2.结构自振频率（或自振周期T）的性质,自振频率只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，它是结构本身固有的特性；改变结构的质量或刚度可改变其固有频率，不管实际结构如何，在同样的干扰力下，固有频率相同的结构的动力反应相同,3.简谐自由振动的特性,位移,加速度,惯性力,位移与惯性力作同频同步振动。,4.算例,例1 求图示体系的自振频率和自振周期。,解,图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（b）示，作 图,柔度系数,自振频率,自振周

11、期,例2求图示体系的自振频率,解,设该体系转动时，转角的幅值为。当位移达到幅值时，质量 2m 和 m 上的惯性力也同时达到幅值。,在幅值处列出动平衡方程：,由此求得,例3图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。,解,不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作 图，求出,自振频率,作业,思考题 P.286.134.135习题 P.294.133.134.136.137,刚度系数,单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）,134,强迫振动结构在动荷载作用下的振动,单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:,弹性力,惯性力,平衡方程,不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几

12、种动荷载作用下体系的动力反应：,或,（136）,式中,结构的自振频率,式（136)为单自由度体系强迫振动方程,一.简谐荷载,荷载幅值,荷载的圆频率,1.运动方程及其解,二阶线性非齐次常微分方程,通解：,齐次解：,设特解：,运动方程的通解为：,由初始条件确定 后，运动方程的解,特解为,代入方程，求得,（137）,式（13-7）中前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载（干扰力）引起的自由振动，称为伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动，此阶段为,振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。,2稳态振动

13、分析,（1）稳态振动解,令,荷载幅值作为静荷载作用时结构产生的静位移,最大动位移,令,（138）,动力系数,最大动位移（振幅）,（139）,最大动位移 与静位移之比,动力系数 是频率比 的函数,（2）动位移的讨论,它反映了干扰力,对结构的动力作用。,当 时，,即动位移与干扰力指向一致；,当 时，,即动位移与干扰力指向相反。,（a）时，干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理；极限情况，即 或，则。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。,当 时，为增函数。,（b）当 时，共振 为避开共振，可改变干扰力频率 或改变结构的自振频率 使 或。,（c）当 时，为减函数当 时，体

14、系处于静止状态。,（3）降低振幅的措施,频率比，,应使频率比减小，增加结构的 自振频率，增大刚度，减小质量；,应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，增大质量。,动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算 计算步骤,（1）计算动力系数；,（2）计算动荷载幅值作为 静荷载作用时引起的 位移和内力；,（3）将位移和内力分别乘 以动力系数得 动位移 幅值和动内力幅值。,例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.,已知,解,(1)计算动力系数,梁的自振频率：,荷载频率,动力系数,(2)动荷载幅值作为静荷载 作用时的位移和内力,M 图,(3)振幅和动弯矩幅值,振幅,动弯矩幅值,(4)最大位移和最大弯矩,简支梁

15、的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点,跨中重量G产生的静位移,跨中的最大位移,跨中重量G产生的静弯矩,跨中的最大弯矩,4.动荷载不作用在质点上时的动计算,振动方程,令,(a),(b),则,稳态解,(c),(d),(e),（1）、振幅,结论:,仍是位移的动力系数.,思考:,是否内力的动力系数？,（2）、动内力幅值,、,三者同时达到幅值。,、,作同频同步运动，,根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。,例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图.,已知：,解,(a),(b),(1)计算动力系数,(2)简支梁的振幅,(c),(d),

16、(e),(3)作动弯矩的幅值图,惯性力幅值,动弯矩幅值图,(f),将动荷载幅值 F 和惯性力 幅值 I 作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图-动弯矩幅值图。,作业：295页13-8,296 页13-10,297页13-16,结 论 对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和,内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的

17、运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。,二.一般动荷载,体系在一般动荷载作用下的动力反应，可看成是连续作用的一系列冲量对体系产生的动力反应之和。,1.瞬时冲量下体系的动力反应,（1）t=0 时瞬时冲量作用,设体系,时静止,瞬时冲量,体系产生的初速度,初位移,体系的动力反应,（13-10）,（2）.,时瞬时冲量作用,位移,任一时刻,的,2.一般动荷载下体系的动力反应,微分冲量,微分冲量下体系的动力反应,一般动荷载下体系的动力反应,（13 11),Duhamel积分,若,时,则 体系的动力反

18、应,（1312）,例 求突加荷载作用下质量 m 的位移。初始条件为零，不计阻尼。,解 将,代入式,（1311），得,（1313）,动力系数,作业：296页1312，297页1313,135,阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的 各种因素的统称。,产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等。,阻尼力：在振动分析中用于替代阻尼作用的阻碍振动的力。,阻尼对振动的影响,采用阻尼模型：粘滞阻尼力假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用 表示。阻尼常数。,具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图（a）示。,弹性力,阻尼力,惯性力,质量 m 的动平衡方

19、程为：,（1314）,一.有阻尼的自由振动,自由振动方程,（1315）,令 阻尼比,则,（1316）,设 解为,特征方程,（1317）,特征根,1.三种运动形态,(1).(小阻尼情况),有阻尼频率,（1319）,方程（1316）的解,（1320）,由初始条件,式中,或方程的解写为,（1320）,振幅,小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰减的简谐运动。,相位角,（1322）,（1321）,方程（1316）解,不振动,（3）（超阻尼情况）,不振动,（2）（临界阻尼情况）,临界阻尼常数,（1323）,（1324）,2.小阻尼时自由振动分析,振动方程,频率,周期,(1)小阻尼的自由振动是一个衰减振动；

20、,(2)在 时，阻尼对自振频率的影响可忽略；,钢筋混凝土结构：,钢结构：,左右,(3)阻尼比的确定,振幅对数衰减率,还可表示为,（1325）,阻尼比,（1326）,（1327）,利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。,例：对图示刚架作自由振动实验。设刚架的质量 m 均集中在横梁处，横梁。在刚架横梁处加一水平力，测得侧移。然后突然卸载，刚架产生自由振动，测得周期，及一个周期后刚架的侧移为。求刚架的阻尼比 和阻尼系数。,解,阻尼比,阻尼系数,二有阻尼的强迫振动,式（1314）有阻尼强迫振动方程中，,不同，结构的动力反应不同。,1.简谐荷载,运动方程及其解,或,（1328）,通解,齐次解,（1）,（

21、1329）,设 特解,运动方程的全解：,式中 由初始条件确定。由于阻尼的作用，含有 的第一部分的振动将逐渐,（1330）,（1331）,（1332）,（1333）,(2)稳态振动分析,稳态振动方程可写为,振幅,（1335）,衰减消失；与动荷载频率 相同的第二部分振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。,（1334）,相位角,当 时，,动力系数,（1336）,阻尼对振幅的影响：,随 增大而减小；,当 时，,当 时，共振，,，,；,与频率比,动力系数,和阻尼,有关,。,阻尼在共振区内影响显著，不能忽略；在共振区外，为简化，偏安全考虑可不计阻尼的影响。,并不发生在 处。,通常情况下，,很小，,阻尼体

22、系的位移反应比荷载滞后一相位。,，弹性力主要与动荷载平衡，,位移与荷载同向；,，阻尼力主要与动荷载平衡，,共振时阻尼的作用不可忽视；,，惯性力主要与动荷载平衡，,位移与动荷载反向。,（1337）,2.一般动荷载,运动方程,或,（1338）,当 时，运动方程的通解,齐次解,特解 用Duhamel积分表示,（1339）,通解为,式中 由初始条件:,总位移为,作业：思考题 P288 13-14，13-15 习题 P297 13-14 13-15,（1340）,确定,13-6 多自由度体系的自由振动,工程中，很多实际结构可简化为单自由度体系进行计算，但要进行更加精确地分析，以及对于绝大多数实际结构必须

23、作为多自由度体系进行计算。多自由度体系自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自振频率和振型。,多自由度体系自由振动的求解方法：刚度法，柔度法。,一.刚度法,1.两个自由度体系,（1）自由振动微分方程,惯性力，,（13-41）,弹性力,（2）频率方程和自振频率,设方程的特解：,即两质量作简谐振动代入方程（13-41），得位移幅值方程,两质量的动平衡方程,（13-42）,频率方程,解频率方程得 两个根：，规定,第一频率或基本频率，第二频率,（13-43）,（3）主振型,将 代入式（13-42），得,质点 的振动方程为,（13-44）,体系按 振动有如下特点：,两质量同频同步,任意时刻，两质量的位移

24、比值，速度比值保持不变且相等,这说明体系的变形形式不变，此振动形式称为主振型，简称振型。,为与 相对应的振型，称为第一振型,或基本振型。,定义：体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称体系的主振型。,按第一振型自由振动的条件,振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素无关。同理，将 代入式（13-42），得到,（13-45）,即第二振型,图示两个振型,第一主振型,第二主振型,2n个自由度体系自由振动微分方程组：,其矩阵表达式：,（13-47）,（13-46）,频率方程,（13-48）,解频率方程，得 的n个根：且，从小到大得排列，依次称为第一频率（或基本频率）、第二频率。,将自振频

25、率代入 得出 对应的主振型向量。这 n 个主振型线性无关。,惯性力，作用下产生的静位移。,二.柔度法1.两个自由度体系（1）自由振动微分方程,质量 在任意时刻的位移 为此时,（13-49）,（2）频率方程和频率,（13-50）,方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，代入方程（13-49），整理得位移幅值方程,0,2,（13-51）,频率方程,解频率方程同样得到 的两个根：,（3）主振型,与刚度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型为：,第一主振型：,（13-52）,第二主振型：,（1353）,2.n个自由度体系,体系振动时，任一质量 mi 任的位移 yi（i=1,2,n）为该时刻作用在体系各

26、质量上的惯性力（i=1,2,n）作用下所产生的静位移：,（1354）,其矩阵表达式,频率方程,式中,解频率方程，得的n个根，1，2，n，并可得到n个频率：1，2，n将频率代入,得出i将对应的主振型向量：，这n个主振型线性无关。,（1356）,（1355）,三举例,例1 已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为m1，m2。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加得力）分别为k1，k2。求刚架水平振动时自振频率和主振型。,解：（1）求解构得刚度系数,（2）求自振频率,由频率方程,当 时，,有,所以,（3）求主振型,两个主振型图：,第一主振型,第二主振型,第一主振型,第二主振

27、型,例2 求等截面简支梁的自振频率和主振型,解：方法一,（1）求柔度系数,由 图,图,图,利用图乘法求得,（2）求自振频率,由频率方程,求得,（3）求主振型,两个主振型图：,第一主振型,第二主振型,第一主振型,第二主振型,由本例得出结论：,当结构本身和质量分布都是对称的，则其振型或为正对称振型，或为反对称振型。,解：方法二,利用振型的正、反对称特点，取半结构计算体系的自振频率,图,（1）体系按对称振型振动,半结构为单自由度体系,(2)体系按反对称振型振动,半结构为单自由度体系,比较，得出,图,作业,思考题：P288 13-17 13-19,习题:P289 1320 1319 1323,137多

28、自由度体系主振型的,正交性和主振型矩阵,具有n个自由度的体系，必有n个主振型。主振型的正交性在多自由度体系中，任意两个不同的主振型之间存在着相互正交的性质。,用功的互等定理证明如下：,一、主振型的正交性,第 i 主振型,第 j 主振型,i 主振型上的惯性力,同样，j 主振型上的惯性力,i 振型上的惯性力在 j 振型上作虚功：,j 振型上的惯性力在 i 振型上作虚功：,根据功的互等定理,有,（1357）,（1358）,即主振型关于质量矩阵的正交性第一正交性。物理意义：体系按某一振型振动时,其惯性力不会在其它振型上作功。,由第 i 阶振型幅值方程,上式左乘 得：,所以,即主振型关于刚度矩阵的正交性

29、第二正交性。物理意义：体系按某一振型振动时,其弹性力不会在其它振型上作功。,（1359）,二广义质量、广义刚度、主振型矩阵,由第 i 阶振型幅值方程,广义质量,当ij时，定义,广义刚度,（1360）,（1361）,自振频率,即第 i 阶频率也可由广义刚度和广义质量求出。在 n 个自由度体系中，将 n 个彼此正交的主振型向量组成得方阵 主振型矩阵。表达为,（1362）,三主振型正交性的应用,1.检验求解出的振型的正交性；,2.已知振型、,可求出振型相应 的频率；,3.对耦联的运动微分方程组作解耦运算，将多自由度问题化成单自由度问题求解。,（1363）,例：试验证例1所求振型的正确性。,已知：,代

30、入主振型的正交性验算：,一.刚度法,以两个自由度体系为例,138,多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动（不计阻尼）,1.运动方程,2.设稳态阶段特解,代入运动方程，得位移幅值方程：,（1364）,（1365）,3.位移幅值,式中,（1366）,（1367）,以两个自由度为例,二.柔度法,1.运动方程,2.设稳态阶段的特解,代入运动方程，得位移幅值方程,（1368）,3.位移幅值,式中,（1369）,（1370）,（1371）,三受迫振动分析讨论,1.在平稳振动阶段，各质量按动荷载频率作同步的简谐振动。,2.当 时，,4.当，或 时，共振。,3.当 时，,个自由度体系有 n 个共振区，即当 时都可

31、能出现共振现象。,5.振幅动内力幅值计算,位移,惯性力,惯性力幅值,位移，惯性力和动荷载同时达到幅值，动内力也在振幅位置达到幅值。,振幅可列幅值方程求得,在各质量的惯性力幅值及动荷载幅值共同作用下，可按静力学方法求得动内力幅值。,（1372）,已知：,例：求图示体系的稳态振幅，作动弯矩幅值图。,EI常数。,解,（1）计算柔度系数、基本频率等,例2中已求出：,所以,（2）计算 和,（3）计算振幅,（4）计算惯性力幅值,（5）作动弯矩幅值图,作动荷载幅值和惯性力幅值共同用下得弯矩图动弯矩幅值图。,(6)计算质量1的位移动力系数和弯矩动力系数,质量1处的静位移,质量1的位移动力系数,质量1处的静弯矩

32、,质量1的弯矩动力系数,结论,在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。,思考题：P.293 1321 1323习题：P.229 1325 P.300 1330 1331,作业：,139 多自由度体系在一般动荷载下,的强迫振动,一.振型分解法,不考虑阻尼时多自由度体系的运动方程,通常，M,K不都是对角矩阵，方程组是耦合的。为简化计算，应对方程解耦。坐标变换,（1373）,（1374）,主振型矩阵或坐标转换矩阵,质点位移，几何坐标,广义坐标或正则坐标,运动方程成为：,（1375）,（1376）,式（1376）相当于图示单自由度体系的受迫振动方程。,式中,i振型广义质量,i振型广义刚度,i振型广义

33、荷载,i阶自振频率,（1377）,振型分解法的实质是用主振型矩阵作为坐标变换矩阵进行坐标变换，将原来n个耦联的微分方程组转化为n个相互独立的微分方程。从而将多自由度体系的动力反应问题变为一系列按主振型分量振动的单自由度体系的动力反应问题。,二.振型分解法计算步骤,例：求图示结构在突加荷载 作用下的位移,已知：,1.确定体系的自振频率和主振型；,2.求广义质量，广义荷载；,3.求广义坐标；,4.求质点位移。,解,前面例题已求得,（1）确定自振频率和主振型,主振型,（2）求广义质量、广义荷载,（3）求广义坐标,（4）求质点位移,由坐标变换,所以,可见，第一主振型对位移的影响远大于第二主振型的影响。

34、多自由度体系位移计算时，由于高阶振型分量影响很小，故通常只计算前23个振型的影响即可。,思考题：P.294：13-24 13-26习 题：P.300：13-28,仅介绍能量法（瑞利法）求基本频率。瑞利法是建立在能量平衡基础上的计算体系基本频率近似值的一种常用方法。略去阻尼，体系在振动过程中任何时刻应变能 U 和动能 T 之和等于常数,具有分布质量的等截面梁自由振动时的位移,1310 近似法求自振频率,（1378）,能量守恒,自振频率,当梁上有集中质量 时,（1379）,（1380）,能量法求频率的精度取决于假设的振型，因此，一般只用它求基本频率。通常取自重沿运动方向作用的变形曲线作为假设振型，能得到很高精度的基本频率。公式表示为：,选择满足位移边界条件的振型函数，即可求得自振频率的近似值或精确值。,（1381）,例：求等截面简支梁的基本频率,满足位移边界条件。,解：,（1）假设振型曲线为抛物线,（误差：+10.99）,(2)均布荷载 q 作用下的挠曲线为振型曲线,满足位移边界条件和力的边界条件,（误差：+0.07）,（3）假设振型曲线为正弦曲线 满足位移边界条件和力的边界条件,可见，根据均布荷载作用下的挠曲线求得的 具有很高的精度。,思考题：P.294 13-28 13-29习 题：P.301 13-34,