曲线插值和曲线拟合课件.ppt

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1、第一章 曲线插值与曲线拟合,刘云华,1,2,1 引言2 拉格朗日插值多项式3 分段低次拉格朗日插值4 Neville逐步插值方法5 Newton插值6 Hermite插值和分段三次Hermite插值7 曲线拟合,实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。,自然地，希望g(x)通过所有的离散点,概念,定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足,问题,是否存在唯一如何构造误差估计,所以 有解，当且仅当系数行列式不为0,存在唯一定理,定理1.1 ：

2、 为n1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当,与基函数无关与原函数f(x)无关基函数个数与点个数相同,特点：,对应于,则,Vandermonde行列式,多项式插值的Lagrange型,如何找？,记,线性插值,12,图2-2,二次插值,14,这是一个二次函数，用二次函数 近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线 上的三点 ，作一抛物线 近似地代替曲线 （图2-3），故三点插值(二次插值)。,例：,16,例 已知 分别用线性插值和抛物插值求 的值。解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11 故用线性插值求得的近似值为,17,仿

3、上，用抛物插值公式所求得的近似值为将所得结果与 的精确值10.7328相比较，可以看出抛物插值的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式改写成对称形式,算法：,fx=0.0for(i=0;i=n;i+) tmp=1.0; for(j=0;ji;j+) tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj); for(j=i+1;j=n;j+) tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj); fx=fx+tmp*yi;return fx;,Lab02 Lagrange插值,对函数,构造插值，并求,插值节点取为：,(1),(2),对N=5，10，20，40比较以上两组节点的结果。,Cheb

4、yshev点,误差,解：,求,设,易知,有n+2个零点,由a的任意性,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,这里,而,sin 50 = 0.7660444,外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001,利用,内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,高次插值通常优于低次插值,例子,P14P17,26,4 分段低次插值 例2、例4表明，适当地提高插值

5、多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度。但是决不可由此提出结论，认为插值多项式的次数越高越好。例如，对函数 先以 为节点作五次插值多项式P5(x) ，再以 为节点作十次插值多项式P10(x) ，并将曲线 描绘在同一坐标系中，如图2-5所示。,27,-1 0 1 x,y 1,y=1/(1+25x2),y=P5(x),图2-5,y=P10(x),28,这种分段低次插值叫分段线性插值。在几何上就是用折线代替曲线，如图2-6所示。故分段线性插值又称折线插值.,x,y=f(x),29,类似地，为求 的近似值，也可选取距点 最近的三个节点 进行二次插值，即取这种分段低次插值叫分段二次插值。在几何上就是

6、用分段抛物线代替曲线，故分段二次插值又称分段抛物插值。为了保证 是距点 最近的三个节点，（4.2）中的 可通过下面方法确定:,（4.2）,30,Neville逐步插值方法,通过两点插值逐步生成多点插值的方法,两点插值,31,三点插值：由两个两点插值（x0,y0）(x1,y1)与（x1,y1）(x2,y2),32,多点Neville插值,2,2,Hermite插值,在节点处已知函数值和导数值,两点三次Hermite插值,两点三次Hermite插值误差分析,例子,P26p29,三次样条插值,分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值

7、，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插值。,每个小区间不高于3次，,有4n个未知数，我们的已知条件如下：,共3n-3+n+1=4n-2个条件,给定端点弯距值,给定端点转角值,58,曲线拟合的最小二乘法 1 引 言 2 什么是最小二乘法 3 最小二乘解的求法,59,曲线拟合的最小二乘法 1 引 言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据 出发，寻求函数y = f(x)的一个近似表达式y=（x）（称为经验公式）。从几何上，就是希望根据给出的m个点 ，求曲线 y = f(x) 的一条近似曲线 y=（x）。因此，这是一个曲线拟合的问题。 多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数

8、表求函数的近似表达式问题，但用它来解决这里提出的问题，有明显缺陷。 首先，实验提供的数据通常带有测试误差。如要求近似曲线y=（x）严格地通过所给的每个数据点 ，就会使曲线保持原有的测试误差。当个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。 其次，由实验提供的数据往往较多（即m较大），用插值法得到的近似表达式，明显地缺乏实用价值。,60,因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函数类中寻求一个“最好”的函数（x）来拟合这组数据，是一个值得讨论的问题。 随着拟合效果“好”、“坏”标准的不同，解决此类问题的方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟合方法，即最小二乘法。 2 什么是最小二乘法 如前所述，在

9、一般情况下，我们不能要求近似曲线 y=f（x）严格地通过所有数据点 ，亦即不能要求所有拟合曲线函数在 xi 处的偏差（亦称残差）都严格地趋于零。但是，为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势，要求i都较小还是需要的。达到这一目标的途径很多，常见的有： (1)选取（x），使偏差绝对值之和最小，即,(2.1),61,(2)选取（x），使偏差最大绝对值最小，即 (2.2) (3)选取（x），使偏差平方和最小，即 (2.3) 为了方便计算、分析与应用，我们较多地根据“偏差平方和最小”的原则（称为最小二乘原则）来选取拟合曲线y=（x） 按最小二乘原则选择拟合曲线的方法，称为 最小二乘法。 本章要着重讨

10、论的线性最小二乘问题，其基本提法是：对于给定数据表 x x1 x2 xm y y1 y2 ym,62,要求在某个函数类 （其中nm）中寻求一个函数 (2.4)使*(x)满足条件 (2.5) 式中 是函数类 中任一函数。 满足关系式（2.5）的函数 ，称为上述最小二乘问题的最小二乘解 。 由上可知，用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类 ,即确定所具有的形式；然后按最小二乘法原则（2.3）求取最小二乘解 ，即确定其系数 。,63, 3 最小二乘解的求法 由最小二乘解（2.4）应满足条件（2.5）知，点 是多元函数的极小点，从而 满足方程组

11、即,64,亦即 若对任意的函数h(x)和g(x) ，引入记号 则上述方程组可以表示成 写成矩阵形式即,(3.1),(3.2),65,方程组(3.2)称为法方程组。当 线性无关时，可以证明它有唯一解并且相应的函数(2.4)就是满足条件(2.5)的最小二乘解。 综上分析可得 定理1 对任意给定的一组实验数据 (其中 互异),在函数类 ( 线性无关）中,存在唯一的函数使得关系式(2.5)成立，并且其系数 可以通过解方程组(3.2)得到。 作为曲线拟合的一种常用的情况，若讨论的是代数多项式拟合，即取 则由(3.1)知,66,故相应的法方程组为,(3.3),67,例 1 某种铝合金的含铝量为 ，其熔解温

12、度为 c，由实验测得 与 的数据如表3-1左边三列。使用最小二乘法建立 与 之间的 经验公式。解 根据前面的讨论，解决问题的过程如下： （1） 将表中给出的数据点 描绘在坐标纸上， 如图3-1所示。 （2） 确定拟合曲线的形式。由图3-1可以看出，六个点位于一条 直线的附近，故可以选用线性函数（直线）来拟合这组实验 数据，即令,68,其中a,b为待定常数。 （3） 建立法方程组。由于问题归结为一次多项式拟合问题， 故由 (3.3)知，相应的法方程组形如 经过计算（表3-1）即得确定待定系数a，b的法方程组 （4）解法方程(3.5)得 a=95.3524 , b=2.2337 代入(3.4)即得

13、经验公式 y=95.3524+2.2337x,(3.4),(3.5),(3.6),69,表 3-1,70,所得经验公式能否较好地反映客观规律,还需通过实践来检验.由(3.6)式算出的函数值(称为拟合值)与实际值有一定的偏差。由表3-2可以看出，偏差的平方和 ，其平方根（称为均方误差） 在一定程度上反映了所得经验公式的好坏。同时，由表3-2还可以看出，最大偏差 . 如果认为这样的误差都允许的话，就可以用经验公式(3.6)来计算含铝量在36.987.5%之间的溶解度。否则，就要用改变函数类型或者增加实验数据等方法来建立新的经验公式。例 2 在某化学放应里，测得生成物的浓度y%与时间t的数据表见表3

14、-3， 是用最小二乘法建立t与y的经验公式 。解 将已知数据点 描述在坐标纸上，见图3-2。由图3-2 及问题的物理背景可以看出，拟合曲线 应具下列特点：,71,表 3-2,72,表 3-3,（1） 曲线随着t的增加而上升，但上升速度由快到慢。,y,10,5,0,4,8,12,t,16,图 3-2,73,（2）当t=0时，反应还未开始，即y=0; 当 时，y趋于某一常数. 故曲线应通过原点(或者当t=0时以原点为极限点)，且有一条水平 渐近线。 具有上述特点的曲线很多。选用不同的数学模型，可以获得不同的拟合曲线与经验公式。 下面提供两种方案: 方案1: 设想 是双曲线型的，并且具有下面的形式

15、(3.7) 此时，若直接按最小二乘法原则去确定参数a和b , 则问题 归结为求二元函数 的极小点，这将导致求解非线性方程组:,(3.8),74,给计算带来了麻烦。可通过变量替换来将它转化为关于待定参数的线.性形函数。为此，将(3.7)改写成于是，若引入新变量则(3.7)式就是,75,同时，由题中所给数据 表3-3可以算出新的数据表表3-4这样，问题就归结为：根据数据表3-4，求形如 的最小二乘解. 参照例1的做法，解方程组,表 3-4,76,既得 a=80.6621, b=161.6822代入(3.7) ,既得经验公式 (3.9) 方案2： 设想 具有指数形式 为了求参数a和b 时，避免求解一个非线形方程组，对上式两边取对数 此时，若引入新变量 并记A= lna,B=b,则上式就是,(3.10),77,又由数 表3-3可算出新的数据表3-5。 表 3-5于是将问题归为：根据数据表3-5，求形如 的最小二乘解。参照方案1，写出相应的法方程组并解之，即得 A=-4.4807，B=-1.0567于是,小结,线形拟合二次多项式拟合指数曲线拟合幂函数拟合双曲函数拟合,