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1、小结：点的投影,1.点的投影特性: 两个垂直，一个相等, aaOX轴 aaOZ轴 aax= aaz=y,点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax点A到H面的距离= z = aax,左 右,后 前,上 下,后 前,2.点的坐标与投影:,3.点的相对位置:,X:左右, Y:前后(大拇指),Z:上下，坐标大者为左、前、上.,X,Y,Z,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,X,Y,Z,4.重影点:,上遮下，左遮右，前遮后。,直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影(粗实线2b,b细线宽)。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线
2、的投影特性,直线垂直于投影面投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长 实形性ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短类似性ab=Abcos,二、 各种位置直线的投影特性（三大类七种）,投影面平行线,投影面垂直线,水平线（平行于面）,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,铅垂线（垂直于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线 （注意两者区别）,如图,直线AB与三个投影面都倾斜。V面投影ab,H面投影ab,W面投影a”b”。,设直线段AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为、，则ab=ABcos, ab=ABcos, a”b”=ABcos .
3、三个投影都具有类似性.,投影特征：三斜无实长,投影特性：1.三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜；2.其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。,1.一般位置直线,2.投影面平行线,与H面的倾角: 与V面的倾角: 与W面的倾角: ,H面具有实形性,V、W有类似性。1.H面ab=AB,反映倾角.；2.ab/OX,a”b”/Oyw，长度缩短。,1)水平线(/H,直线上点的Z坐标都相等),实长,=？,V面具有实形性,H、W有类似性. 1.V面ab=AB,反映倾角.；2.ab/OX,a”b”/OZ，长度缩短。,2)正平线（/V,所有点的Y坐标相等）,实长, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并
4、反映直线与另两投影面倾角的大小。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,3)侧平线（/W,所有点X坐标相等）,投影特性：,实长,投影特征：一斜两平行,W面具有实形性,H、V有类似性. 1.W面a”b”=AB,反映倾角.；2.ab/OZ,ab/OYH，长度缩短。,1.ab积聚成一点；2.abOX,a”b”OYw,都反映实长。,3.投影面垂直线,1)铅垂线（H面,所有点的X.Y相等）,问、？,1. ab积聚成一点;2. abOX,a”b”OZ,都反映实长。,2)正垂线（V面,所有点的X.Z相等）,3)侧垂线（W面,Y和Z相等）, 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。, 在其垂直
5、的投影面上，积聚为一点。,投影特性:,投影特征：一点两垂直,1.a”b”积聚成一点；2. abOYH,abOZ,都反映实长。,直线上的点具有两个特性：1. 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,三、 直线与点的相对位置,2.定比性 直线上的点,分线段之比在投影中不变。 即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,根据点的从属性，若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。对于一般位置直
6、线两个投影就可以判断了。,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,方法二：应用定比性,a,b,k,a,b,k,方法一：应用从属性,例3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,应用定比性（相似）求,四、空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉, 两直线平行,投影特性：,平行性空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,a,V,H,c,b,c,d,A,B,C,D,b,d,a,等比性空间两线段平行，其长度之比等于同面投影长度之比。, 两直线平行,即：AB/CD，ab/cd，ab/cd，a
7、”b”/c”d”.,AB/CD=ab/cd=ab/cd=a”b”/c”d”,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有两个同名投影互相平行，不能判断空间直线平行。,方法1：求出侧面投影,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,方法2：判断两线段是否同向且成比例。,方法3：判断两直线是否在同一平面。判断四点同面即可。,判别方法：,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性，反之亦然。（即
8、两个垂直一个相等交点的连线垂直于投影轴）。, 两直线相交,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,水平线的点Z坐标相等,即正面投影/OX轴.,例：作一正平线，使其与已知直线AB、CD和 EF均相交。,2,3,1,正平线的点Y坐标相等,即水平投影/OX轴.,e,e,f,f,例. 作一直线EF与直线AB、GH相交，并与直线MN平行。,从特殊线AB积聚点得e，作EF/MN.,1(2),3(4 ),投影特性：, 同面投影可能相交，但 “交点”不符合点的投影特性。, 所谓“交点”是两直线上的一对重影点的投影。,、是面的重影点，、是H面的重影点。, 两直线交叉（既不平行又不相交）,例:
9、判断两直线的相对位置,1d,1c,利用定比性判断CD上的点1的水平投影是否在ab上。,点1不在水平投影的交点处，点1不是交点，所以两直线交叉。,如果AB、CD相交，则CD上的1点应是两直线的共有点，即点1的水平投影应在AB的水平投影ab上。,平行,交叉,交叉,相交,交叉,相交,作d=cd取dK=dk作KkCc,本节到此,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,3)其中一直线/投影面的情况呢？,？,4、两直线垂直相交（或垂直交叉）,直角投影定理：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,已知：BC/H面，则BCBb， 又BCAB 则BC平面ABba,两直线在H面上的投影相互垂直,因此 bcab即abc为直角,又BCbc 故bc平面ABba,证明：,A,B,C,a,b,c,b,a,c,H,V,垂直交叉呢？,a,b,c,a,b,c,例1：过C点作直线与AB垂直相交（即C点到AB的垂线-距离投影）。,AB为正平线, 正面投影反映直角。,分析：因ABV，EFAB，故EF/V面，为正平线，e在a（b）的投影上;又EFCD，要在投影图上画出来，EF只能为正平线或水平线，由以上得出，EF为正平线。所以，efcd;又EF为正平线,ef反映实长。即为AB、CD间的距离。,例 作交叉两直线AB、CD的公垂线EF，分别与AB、CD交于E、F，并标明AB、CD间的真实距离。,
