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1、材料力学,第7章 应力状态强度理论,71 应力状态的概念,72 平面应力状态分析的解析法,73 空间应力状态简介,74 广义虎克定律,75 复杂应力状态下的体积应变、比能,P,P,m,m,n,n,P,n,n,k,m,m,P,k,一、一点的应力状态,71 应力状态的概念,过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状态。,二、单元体,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为单元体。,单元体相对两面上的应力大小相等，方向相反。,若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称为主单元体。,三、主平面和主应力,1,2,3,只有正应力，而
2、无剪应力的截面称为主平面。,主平面上的正应力称为主应力。,一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：,P,P, 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。, 若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。,A,B,P,x,x,x,x,x,x, 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向应力状态是最复杂的应力状态。,72 平面应力状态分析的解析法,一、斜截面上的应力,x,x,x,y,y,n,t,x,x,y,y,y,y,x,x,y,同理，由 得：,任意斜截面的正应力和剪应力为,二、主平面的方位,设主平面的方
3、位角为0，有,三、主应力,将主平面的方位角为0代入斜截面正应力公式，得,四、最大剪应力,解题注意事项：, 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。,x、y 以拉为正，以压为负；,x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负；, 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。, 求得主应力、与0排序，确定1、2、3的值。, 0为主应力所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。,在主值区间，20有两个解，与此对应的0也有两个解，其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。,例71求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。,a,b,解
4、：已知,x,n,n,练习1求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。,解：已知,例72求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,此解在第一象限，为本题解；,此解在第二象限，不是本题解，舍掉。,1,1,3,3,0=11.98,练习2求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,此解在第二、四象限，为本题解。,此解在第一象限，不是本题解，舍掉；,3,3,1,1,0=67.5,练习3求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,此解在第一象限，为本题解；,此解在第二象限，不是本题解，舍掉。,1,1,3,3
5、,0=18.43,图解法,由解析法知，任意斜截面的应力为,将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加,得：,取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。,x,x,x,y,y,n,t,y,r,圆心坐标为,半径为,x,x,x,y,y,n,t,y,圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆称为应力圆。,圆上D1点代表x 截面；,D1,x,x,y,-x,D2,D2点代表y 截面；,E,E点代表方位为 角的斜截面；,A1、 A2 点代表两个主平面。,1,2,A1,A2,x,x,x,y,y,y,D1,x,x,y,-x,D2,B1
6、,B2,应力圆的画法步骤:, 作横轴为 轴，纵轴为 轴；, 在横轴上取OB1= x ，,过B1引垂线B1D1=x ；, 在横轴上取OB2= y，,过B2引垂线B2D2=-x ；, 连接D1D2交横轴于C ，, 以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。,x,x,x,y,y,y,D1,x,x,y,-x,D2,B1,B2,证明:,例73试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,50,30,30,30,取:,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,50,30,30,30,1,1,3,3,0=18.43,例74试用图解法求图示单元体的主
7、应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,取:,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,20,20,20,20,0=45,20,1,1,3,3,练习4试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,取:,连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。,C,O,B1,D1,D2,B2,100,50,50,C,O,B1,D1,D2,B2,100,50,50,A1,A2,20,1,1,3,3,0=22.5,例75已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的
8、方位。,95MPa,45MPa,2,o,a,a,b,b,C,95,45,95MPa,45MPa,2,o,a,a,b,b,C,95,45,A1,A2,1,2,2a,2b,a,b,73 空间应力状态简介,1、空间应力状态,2、三向应力圆,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,max,min,3、最大剪应力,1,2,3,最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面成45角。,77 广义虎克定律,P,P,=,+,1,2,2,1,一、平面应力状态的广义虎克定律,正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；,二、三向应力状态的广义虎克定律,1,2,3,x,y,z,
9、xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,例76边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力x 、y 、z 和应变x 、y 、z 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,P,x,y,z,x,y,z,例77已知E=10GPa、=0.2，求图示梁nn 截面上 k 点沿30方向的线应变 30。,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k
10、,30,30,-60,30,-60,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,-60,30,-60,例78薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的平均直径为D ，壁厚为t ，材料的E、 已知。已测得筒壁上 k 点沿45方向的线应变 45，求筒内压强p。,k,p,t,D,x,x,y,y,解：,筒壁一点的轴向应力：,筒壁一点的环向应力：,k,p,t,D,x,x,y,y,45,-45,45,-45,练习5受扭圆轴如图所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圆轴外表面沿ab 方向的应变 ab 。,A,B,m,m,d,a,b,45,解：,A,B,m,m,d,a,b,45
11、,45,-45,75 复杂应力状态下的体积应变、比能,一、体积应变,dx,dy,dz,dx+dx,dy+dy,dz+dz,略去高阶微量，得,单元体的体积应变,代入式,得：,纯剪应力状态：,可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为,体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。,令,m称为平均正应力，K 称为体积弹性模量。,二、比能,单位体积的变形能称为变形能密度，简称比能。, 单向拉压比能,dx,dz,dy,d(l),dx,dz,dy, 纯剪切比能,dx,dy,dz, 复杂应力状态的比能, 体积改变比能与形状改变比能,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m
12、,3-m,=,+,u,=,uV,+,uf,状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。,状态2的体积应变：,状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形状改变比能uf。,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,uV,+,uf,例79边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体积应变V 和形状改变比能uf 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,x,y,z,例710证明弹性模量E 、泊桑比 、剪切弹性模量G 之间的关系为 。,3
13、,1,证明：,纯剪应力状态比能为,用主应力计算比能,76 强度理论的概念,78 莫尔强度理论,77 常用四个强度理论,76 强度理论的概念,P,P,塑性材料屈服破坏,脆性材料断裂破坏,单向拉伸时材料的破坏准则可通过试验很容易地建立起来。,复杂应力状态（二向应力状态或三向应力状态），材料的破坏与三个主应力的大小、正负的排列，及主应力间的比例有关。各种组合很多，无法通过试验一一对应地建立破坏准则。于是，人们比着单向拉伸提出一些假说，这些假说通常称为强度理论，并根据这些理论建立相应的强度条件,1,1,2,2,1,2,3,77 常用四个强度理论,一、第一强度理论（最大拉应力理论）,该理论认为材料发生脆
14、性断裂破坏是由最大拉应力引起的：复杂应力状态下，当最大拉应力 1达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应力 u，材料发生脆性断裂破坏，即,根据第一强度理论建立的强度条件为：,二、第二强度理论（最大拉应变理论）,该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的：复杂应力状态下，当最大拉应变 1达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应变 u，材料发生脆性断裂破坏，即,根据第二强度理论建立的强度条件为：,三、第三强度理论（最大剪应力理论）,该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大剪应力引起的：复杂应力状态下，当最大剪应力max达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的极限应变 u，材料发生塑性屈服破坏，即,根据第
15、三强度理论建立的强度条件为：,四、第四强度理论（形状改变比能理论）,该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引起的：复杂应力状态下，当形状改变比能uf 达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的形状改变比能uf u，材料发生塑性屈服破坏，即,根据第三强度理论建立的强度条件为：,将四个强度理论的强度条件写成统一形式：,r 称为相当应力,第一相当应力,第二相当应力,第三相当应力,第四相当应力,脆性材料或塑性材料三向受拉发生断裂破坏时应用第一、第二强度理论；,塑性材料或脆性材料三向受压发生屈服破坏时应用第三、第四强度理论；,78 莫尔强度理论,莫尔强度理论并不简单地假设材料的破坏是由单一因素（应力、应变
16、、比能）达到极限值而引起的，它是以各种应力状态下材料破坏的试验结果为依据而建立的带有一定经验性的强度理论。,单向压缩 极限应力圆,纯剪切极限应力圆,单向拉伸 极限应力圆,莫尔强度理论的强度条件：,莫尔强度理论尤其适用于拉压异性材料的屈服破坏。,A,B,P,A,B,m,m,d,P,P,例71 0 求图示单元体应力状态的第三、第四相当应力。,例711圆筒形铸铁容器，平均直径D=200mm，壁厚t=10mm，内压p=3MPa，轴向压力P=200kN，材料的容许拉应力l=40MPa，容许压应力c=120MPa，试用莫尔强度理论校核容器的强度。,P,P,D,p,t,1,1,3,3,解：,该容器属薄壁容器，故有,P,P,D,p,t,1,3,3,满足强度条件。,
