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1、2.3.1离散型随机变量的数学期望,高二数学 选修2-3,学习目标：1）理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义；2）能计算简单的离散型随机变量的均值、方差、标准差,解决一些实际问题；,1、什么叫n次独立重复试验？,一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)p0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。n次独立重复试验的特征为：,1）每次试验是在同样的条件下进行的； 2）各次试验中的事件是相互独立的； 3）每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4）每次试验,某事件发生的概率是相同的.,2、什么叫二项
2、分布？,复习回顾,一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi(i1，2，)的概率P(xi)pi，则称下表,为随机变量的概率分布.,由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布都具有下述两个性质：,3、离散型随机变量的概率分布,（1）pi0，i1，2，n（2）p1p2pi+pn1,复习引入,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.例如:要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接
3、通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差。,某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得平均环数_;,把环数看成随机变量的概率分布：,权数,加权平均,互动探索,1.离散型随机变量取值的数学期望,（均值）,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,意义建构,设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1） Y的分布是什么？（2） EY=？,思考1：,意义建构,意义建构,的分布列为,结论1： 则,意义建构,跟踪练习1：,1）随机变量的分布列是,（1）则E=_;,2）
4、随机变量的分布列是,2.4,（2）若=2+1，则E=_;,5.8,E=7.5,则a=_,b= _;,0.4,0.1,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分X的均值。,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,2.例题讲解,提炼结论1：,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的概率分布；（2）求X的数学期望。,解：,(1) XB（3，0.7）,(2),2.例题讲解,一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n , p），则,提炼结
5、论2：,跟踪练习2：,一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .,3,5）若随机变量X服从超几何分布， 即XH（n,M,N），则,提炼结论3：,1）一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。,3.巩固应用,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正
6、确的选择题个数分别是和,则,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考2:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,3.巩固应用,2）某商场的促销决策： 统计资料表明,每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%,问: 商场应选择哪种促销方式？,3）有一批数量很大的产品
7、,其次品率是15%,对这批产品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）.,分析（1）P（=k）=0.85 k-10.15,（ k=1,2,9） k=10时,前9次取出的都是正品,第10次可能取出次品,也可能取出正品, 所以P（=10）=0.859（0.15+0.85）=0.859,（2）写出的分布列,由概率分布可得,可得 的期望,E = 10000.03a0.07a,得a10000,故最大定为10000元。,跟踪练习3：1、每人交保险费1000元，出险概率为3%，若保险公司的赔偿金为a（a
8、1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，求保险公司应将最大赔偿金定为多少元？,2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字),E =1.43,4.课堂小结,1）离散型随机变量取值的平均值,数学期望,2）数学期望的性质,3）若随机变量X服从两点分布,则,4）若随机变量X服从二项分布， 即XB（n,p），则,5）若随机变量X服从超几何分布， 即XH（n,M,N），则,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0,P
9、(=k)= Cnkpkqn-k,证明：,=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np,( k Cnk =n Cn-1k-1),证明结论：若B(n，p)，则E= np,所以,若B(n，p)，则Enp,应用思考1：有场赌博，规则如下：投掷一个质地均匀骰子，向上的点数出现1，你可赢得10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢问这场赌博对你是否有利?,若改为8元呢？,应用思考2：彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，12个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：,6个全红 赢得100元5红1白 赢得50元4红2白 赢得20元3红3白 输100元2红4白 赢得20元1红5白 赢得50元6个全白 赢得100元,你心动了吗?,祝学习进步！,2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：,互动探索,3）若随机变量X服从两点分布,则,4）若随机变量X服从二项分布， 即XB（n,p），则,5）若随机变量X服从超几何分布， 即XH（n,M,N），则,
