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1、,第2节行列式的性质与计算2.1行列式的性质行列式的转置将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式,记为DT( Transpose或D,即如果11则DT=“12显然,(D7)=D,?性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=D7.?性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号推论如果行列式D中有两行列的元素相同,则D=0?性质3用数k乘以行列式的某一行(列),等于用数k乘以此行列式2l1C12kan1kankam=kanaa.1 aanI a推论1如果行列式的某一行(列的元素全为零,则D=0推论2如果D中有两行(列对应元素成比例,则D=0,?性质4若行列式中的某一行列)的元素都是两数
2、之和,则此行列式可以写成两个行列式之和.即aa12a1 alIaiaaa2amH+b;bbCaa?性质5将行列式的某一行(列的所有元素同乘以数k后加到另一行列对应位置的元素上,行列式的值不变,即aaatka: atk12a. +kaa,行列式的计算要点:利用性质将其化为上三角行列式,再进行计算为表述方便,引入下列记号(行用r,列用e):交换行列式的第i行与第行,用4表示:(换法变换)以数k:0乘以行列式的第行,用k表示;(倍法变换)以数k乘以行列式的第加到第,用r+kr;表示(消法变换思考:这三种变换的结果分别是什么?,例1.计算行列式D072410-10-1解:4|3107013-8124-
3、2023301-1-1000-319001220012200-4-300-4,103100204例2.计算行列式D=199201995301300600100+3100200+100100200+解:D=200-1201900-5=201900400300+13006003003006003100200+43100200|31004+|-1201900-5201900+-1200130060013006003000100-12=2000130下页,例3.计算行列式D解:将各行都加到第一行,从第一行提取x+(n-1a得1 1D=x+(n-1)ax+(n-1ax+(n-1)al(x-a)0,ao
4、b b2b例4计算行列式D=c2Oa2O(a420)b, b解D=(caca.ca0 O1 0b(a142an)(a,2.2行列式按行(列)展开、余子式与代数余子式定义5在n阶行列式D=an中去掉元素a;所在的第i行和第列后,余下的n-阶行列式,称为D中元素an的余子式,记作M令A=(-1)M1,A称为元素a1的代数余子式例如,求4阶行列式中a32的代数余子式a11 912 a13 a14a11 a1 aa4143444144243a4A2=(-1)3+2M2=-M32,2.2行列式按行(列)展开余子式与代数余子式定义5在n行列式D=n中去掉元素a;所在的第和第列后,余下的n-1阶行列式,称为D中元素an的余子式,记作M令A;=(-1y+M1,A称为元素an的代数余子式再如,求4阶行列式中a1的代数余子式21a222421a2242M103232433aaa ano ac41a42443aA1:=(-1)+3M13=M1,
