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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,教师：*,1,PPT课件,1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角.,2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：( 0o, 90o ,范围： 0o, 90o ,复习引入,2,PPT课件,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,
2、在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,3,PPT课件,在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.,4,PPT课件,(1) 半平面的定义,1.二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2) 二面角的定义,从一条直线出发的两
3、个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱,面,面,5,PPT课件,平卧式：,直立式：,(3) 二面角的画法和记法：,1.二面角的概念,面1棱面2,点1棱点2,二面角 l ,二面角AB,二面角CAB D,6,PPT课件,A,O,l,B,(4) 二面角的平面角,A,B,O,1.二面角的概念,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图， ，则AOB成为二面角 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内
4、,7,PPT课件,A,B,0。，180。,(4) 二面角的平面角,1.二面角的概念,二面角的范围为：,注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180；平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,8,PPT课件,定义法垂线法作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且与两半平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB 为二面角 -l- 的平面角,(5) 二面角的平面角的作法：,1.二面角的概念,A,B,补充,9,PPT课件,例 正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_，二面角B-AA1-D的大小为_，
5、二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,练习,10,PPT课件,练 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC = 1，CD = 2，,而EF = 1，在EFG中, ABCDA1B1C1D1是长方体， EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）,M,练习,11,PPT课件,求证:,例
6、 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.,12,PPT课件,C,D,H,G,600,300,例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,13,PPT课件,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,思考,14,PPT课件,2.平面与平面垂直的判定,(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作,(2) 面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,注2：,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任
7、一个的垂线.,15,PPT课件,练 在正方体ABCDA1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C平面B1D,A,C,D,A1,C1,D1,E,F,B1,(2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE平面B1D,(3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G平面B1D,总结:直线A1C1 平面B1D，则过直线A1C1 的平面都垂直于平面B1D,练习,16,PPT课件,证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC平面PBC,练习,17,PPT课件,P,A,B,
8、C,外,垂,中,练习：P79 B组2(2),18,PPT课件,19,PPT课件,20,PPT课件,E,F,分析,21,PPT课件,E,F,或者考虑二面角定义法,22,PPT课件,G,E,23,PPT课件,G,E,练习,24,PPT课件,二、平面与平面垂直,(1)定义：两平面所成二面角为直二面角,(2)判定定理：,(3)性质定理：,一、直线与平面垂直,(1)定义：,(2)判定定理：,(3)线线垂直的常用证明方法：,a.平面内的两直线,b.空间内的两直线,(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.,25,PPT课件,三、角度问题,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直
9、线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,26,PPT课件,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.,2.方法：,3.步骤：,b.求直线与平面所成的角：,a.求异面直线所成的角：,c.求二面角的大小：,作（找）, 证, 点, 算,1.数学思想：,定义法或者垂线法,即找面的垂线，找出垂足,找平行线方法：中位线
10、，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等,27,PPT课件,O,A,B,O,P,A,B,back,练习：二面角 的平面角为 , PA 于A点，PB 于B点，PA=a，PB=b，求点P到棱 的距离.,28,PPT课件,back,练 如图，在三棱锥P-ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求证：PC AB；(2)求二面角BAPC的大小.,29,PPT课件,练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=BB1=1， E为C1D1的中点，求二面角 E-BD-C的大小.,A,A1,B,B1,C,C1,D,D1,E,M,F,back,30,PPT课件
11、,在正方体AC1中，E，F分别是中点，求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,E,F,back,31,PPT课件,练1 如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1MCA的正切值,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = ,back,32
12、,PPT课件,如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱锥S-ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.,(2)提示：因所求二面角无“棱”，故先延长BA、CD以确定棱SE，然后证明BSC为平面角.,back,33,PPT课件,A .,O,解：,则AD l .,sinADO=, ADO=60.,即二面角 l 的大小为60 .,在RtADO中，,AOAD,练 已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 ，到l的距离为 4. 求二面角 l 的大小.,D,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D
13、，连AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,练 在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,34,PPT课件,证明：,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，则BCD.,a,back,35,PPT课件,练习,1.过平面的一条垂线可作_个平面与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,3.过平面的一条斜线，可作_个平面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平面与垂直.,一,无数,无数,一,back,36,PPT课件,练 正方体ABCD
14、A1B1C1D1中， 求证：,back,37,PPT课件,E,F,back,38,PPT课件,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA = PB = PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC,连结CM，AM = BM = CM，,已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB
15、的平面角的正切值.,back,练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,39,PPT课件,练 如图，过点S作三条不共面的直线，使BSC=900，ASB= ASC=600，截取SA=SB=SC.求证:平面ABC平面BSC,S,C,B,A,D,利用定义，通过计算证之,请计算AC与平面BSC所成的角的大小,back,40,PPT课件,如图所示， ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CE=CA=2BD，M为EA的中点. (1)求证:DE=DA(2)求证:平面BDM平面ECA(3)求证:平面DEA平面ECA,A,B,C,E,D,M,N,F,请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角,back,41,PPT课件,谢谢，再见,42,PPT课件,
