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1、,第十一节,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,第七章,1,t课件,一、问题的提出,解不能用初等函数或其积分式表达.,寻求近似解法:,幂级数解法;,数值解法.,卡比逐次逼近法;,2,t课件,二、 特解求法,问题,假设所求特解可展开为 的幂级数,3,t课件,解,例1,4,t课件,比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得,小结:,无初始条件求解,(C是任意常数),5,t课件,定理,三、二阶齐次线性方程幂级数求法,6,t课件,作法,比较恒等式两端x的同次幂的
2、系数, 确定y.,解,例2,7,t课件,8,t课件,原方程的通解,9,t课件,例3.,的一个特解.,解:,设特解为,代入原方程整理得,比较系数得:,可任意取值,因是求特解, 故取,从而得,当n 4 时,10,t课件,因此,注意到:,此题的上述特解即为,11,t课件,例4.,解:,求解勒让德 (Legendre) 方程,展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).,设方程的解为,代入:,12,t课件,整理后得:,比较系数, 得,例如:,13,t课件,于是得勒让德方程的通解:,上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛,可以任意取,它们是方程的,两个线性无关特解.,14,t课件,四、小结,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,15,t课件,思考题,什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？,16,t课件,思考题解答,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 常用幂级数解法.,17,t课件,练 习 题,18,t课件,练习题答案,19,t课件,
