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1、第三章 系统的时域分析,线性非时变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 离散时间LTI系统的响应 冲激响应表示的系统特性,建立系统的数学模型 已知激励，在时域直接求解系统响应,系统的时域分析:,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。,连续时间系统数学模型的建立,线性非时变系统的描述及特点,电阻,电感,电容,根据KC
2、L,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,例,机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,例,这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。,离散时间系统数学模型的建立,线性非时变系统的描述及特点,由实际问题直接得到差分方程,例 y(n)表示一个国家在第n年的人口数,a(常数)：出 生率,b(常数): 死亡率,设x(n)是国外移民的净增 数,则该国在第n+1年的人口总数为：,y(n+1)-(a-b+1
3、)y(n)=x(n),离散时间系统的差分方程,离散时间系统数学模型的建立,线性非时变系统的描述及特点,例 设xk是混有噪声的观测值，作为系统的输入信号，采用滑动平均系统对信号进行滤波降噪处理，yk是经过系统处理后的输出。M1M21点滑动平均系统的输入和输出的关系为：,线性非时变系统的描述及特点,连续LTI系统用n阶常系数线性微分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性非时变(LTI)系统的描述,线性非时变系统的描述及特点,离散LTI系统用n阶常系数线性差分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性非时变(LTI)系统的描述,前向差分方程,线性非时变系统的描述及特点,线性非时变系统的特点,由于LTI系
4、统具有线性特性和非时变特性，因此具有:,1）微分特性或差分特性：,若 y(t) = T x(t),则,若 yk = Txk,则 yk - yk-1 = T xk -xk-1,2）积分特性或求和特性：,若 y(t)= Tx(t),则,若 Txk= yk,则,线性非时变系统的描述及特点,证明LTI系统的微分特性,若 y(t) = T x(t),则,证明：,线性性质,时不变性质,例 已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在x2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。,解：,从x1(t)和x2(t)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系,根据线性非时变性质，y2(
5、t)与y1(t)之间也存在同样的关系,连续时间LTI系统的响应,连续时间系统的零输入响应连续时间系统的零状态响应冲激响应卷积积分,连续时间LTI系统的响应,经典法和卷积法,经典法：求解微分方程,响应时域求解方法:,微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成,齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定,特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定,微分方程的全解即系统的完全响应,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解: (1) 求齐次方程
6、y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,已知系统，已知激励，已知系统的初始状态，求响应,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t),由输入x(t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解代入原微分方程即可求得常数C=1/3。,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u
7、(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (3) 求方程的全解,解得 A=5/2，B= -11/6,1) 若初始条件不变，输入信号x(t) = sin t u(t)，则系统的完全响应 y(t) = ？,2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y (0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？,讨论,经典法不足之处,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,连续时间LTI系统的响应,经典法和卷积法,响应时域求解方法:,经典法：求解微分方程,卷
8、积法：,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,一、系统的零输入响应,定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式：齐次解,再由初始状态确定待定系数,从而求解。,初始状态:,系统的三个状态：,0时刻：定义激励加进去的时刻为0时刻。0状态：激励未加入之前的状态。0状态：激励加入之后刚开始的状态。,微分方程的解y(t)的t域空间：,齐次解yh(t)的形式,(1) 特征根是不等实根 s1, s2, , sn,(2) 特征根是等实根 s1=s2=sn =s,(3) 特征根是成对共轭复根,一、系
9、统的零输入响应,解: 系统零输入响应满足的方程,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:y (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3,解得 K1= 6，K2= -5,系统的特征方程为,y (t)+5y (t) +6y (t) =0,齐次解为,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 3x(t), t0 系统的初始状态为y(
10、0-) = 2，y(0-) = -1，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yzi(0-)=K1=1;y(0-)= y zi(0-)= -2K1+K2 =3,解得 K1 = 2, K2= 3,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1=1y (0-)= y zi(0-)= -K1+2K2 =3,解得 K1=
11、 1，K2= 2,二、系统的零状态响应,求解系统的零状态响应yzs (t)方法： 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。,定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励x(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。,概念：冲激响应,系统在初始状态为零的条件下，以冲激信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应，以符号h(t)表示。,二、系统的零状态响应（卷积法）,卷积法求解系统零状态响应yzs (t)推导,由非时变特性,由均匀特性,由积分特性,卷积法求解系统零状态响应yzs (t)的思路,1) 将任意信号分解为单
12、位冲激信号的线性组合2) 求出单位冲激信号作用在初始状态为零的系统上的响应 冲激响应3) 利用线性非时变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励下系统的零状态响应yzs (t) 。,例 已知某LTI系统的动态方程式为：y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yzs(t)。,解：,三、冲激响应h(t)的求法,1. 冲激响应满足的方程,令 x(t)=(t) 则y(t)=h(t),2. 冲激响应时系统的初始状态,三、冲激响应h(t)的求法,冲激平衡法求系统的单位冲激响应,(2) 由于t 0+后,
13、方程右端为零, 故 nm时h(t)为齐次解,(3) 将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki,(1) 写出系统满足的方程,解： 当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,动态方程式的特征根s = -3, 且nm, 故h(t)的形式为,两边平衡解得A=2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,代入：,(2) nm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即,三、冲激响应h(t)的求法,(3) 将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定 系数Ki，Aj,(1) 写出系统满足的方程,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解： 当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,动态方程式的特征根s = -6, 且n=m, 故h(t)的形式为,解得A= -16, B =3,1) 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。,2) 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。,冲激平衡法小结,
