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1、7.7机械能守恒定律的应用,内容:,几种表达式:,EK2+EP2= EK1+EP1,EK=EP,即 E=0,即 EK+EP=0,即,知识回顾：机械能守恒定律,在只有重力(或弹簧弹力)做功的情况下, 物体的动能和重力势能(或弹性势能)发生相互转化, 但机械能的总量保持不变.,一、机械能守恒定律的守恒条件问题,1.对机械能守恒条件的理解, 只受重力或系统内弹力。（如忽略空气阻力的抛体运动）, 还受其他力，但其他力不做功。（如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功）, 有其他力做功，但做功的代数和为零。,2.判断机械能是否守恒的常用方法,用做功来判断,用能量角 度来判断,a.直接看对象
2、总机械能是否变化,b.看对象是否存在机械能与其他形式能量转化或与其他对象机械能转移,例2.把一个小球用细绳悬挂起来, 就成为一个摆, 摆长为L, 最大偏角, 小球运动到最低位置时的速度是多大? (不计空气阻力),二、应用机械能守恒定律解题的方法和步骤,明确研究对象(物体或者系统)明确研究对象的运动过程,分析研究对象的受力情况以及各力做功的情况,判断机械能是否守恒恰当地选取参考平面(零势能面),并确定研究对象在过程中的始末机械能根据机械能守恒定律列出方程进行求解，有时不够时再辅之以其它方程,单体机械能守恒定律表达式：,或用增量式：,从同一高度以相同的初速率向不同方向抛出质量相同的几个物体，不计空
3、气阻力，则 A它们落地时的动能都相同B它们落地时重力的即时功率不一定相同C它们运动的过程中，重力的平均功率不一定相同D它们从抛出到落地的过程中，重力所做的功不相同,A B C,例7.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度为 .,解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.,例 10. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= _,解：第一次恰能抵达B
4、点，不难看出,v B1=0,由机械能守恒定律mg h1 =mgR+1/2mvB12,h1 =R,第二次从B点平抛 R=vB2t R=1/2gt 2,mg h2 =mgR+1/2mvB22,h2 =5R/4,h1 ：h2 = 4：5,4：5,例3. 以10m/s的速度将质量为m的物体竖直向上抛出, 若空气阻力忽略, g=10m/s2, 则:(1)物体上升的最大高度是多少?(2)上升过程在何处重力势能和动能相等?(3)上升过程重力势能和动能相等时速率 多大?,解：（1）设物体抛出时的速度为v0，物体上升的最大高度为h,根据机械能守恒定律得： 1/2mv2=mgh 解得：h=5m(2)设当动能和重力
5、势能相等的时候物体距地面高度为h1,根据机械能守恒定律得： mgh=2mg h1 解得：h1=2.5m(3)设当动能和重力势能相等的时候物体的速度为v1，根据机械能守恒定律得： mgh= mv12 解得：v1=52m/s,拓展：木块A和B用一只轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，A紧靠墙壁，弹簧质量不计。在B上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示，当撤去外力后，下列说法中正确的是（ ）,A.A离开墙壁前，A的机械能守恒B.A离开墙壁前，A、B及弹簧这一系统的机械能守恒C.A离开墙后，A的机械能守恒D.A离开墙后，A、B及弹簧这一系统的机械能守恒,三、机械能守恒定律的综合应用问题,（一）一个物体的
6、运动问题,解：刚好被拉断瞬间，向心力为,所以,从释放至刚好被拉断瞬间，机械能守恒：,所以,断开后，小球做平抛运动，,所以,例3、在高为h=1.2m的光滑平台上有一个质量m为0.5kg的小球被一细绳拴在墙上，球与墙之间有一被压缩的轻弹簧，弹簧的弹性势能Ep1=2J，当细线被烧断后，小球被弹出，求：(1)小球被弹出后的速度v1多大？(2)小球的落地速度v2多大？（g=10m/s2）,解：小球被弹出的过程机械能守恒,小球被弹出后的速度为：,之后，小球做平抛运动，机械能守恒,例4、如图所示,用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球,再把小球拉到A点,使悬线与水平方向成30夹角,然后松手。问:小球运动到悬点正
7、下方B点时悬线对球的拉力多大?,解:小球释放后,首先在重力作用下自由下落至C点细绳再次伸直,由几何关系可知,此时细绳与水平方向夹角为30,小球下落高度h=L。,根据机械能守恒定律得:,在C点细绳突然张紧对小球施以沿细绳的冲量,使小球沿细绳方向的分运动立即消失,其速度由Vc变为Vc1,之后,小球沿圆弧运动至B点,在此过程中,只有重力做功,机械能守恒,小球运动至B点时,细绳的拉力与重力提供向心力,所以F=3.5mg,例5、质量为m的小球由长为L的细线系住,细线的另一端固定在A点,AB是过A的竖直线,E为AB上的一点,且AE=L/2,过E做水平线EF,在EF上钉铁钉D,如图所示.若线所能承受的最大拉
8、力是9mg,现将小球和悬线拉至水平,然后由静止释放,若小球能绕铁钉在竖直面内做圆周运动,求铁钉位置在水平线上的取值范围.不计线与铁钉碰撞时的能量损失.,分析:首先需注意到题目中有两个约束条件,一个是细线承受的拉力最大不能超过9mg,再就是必须通过最高点做竖直面上的完整的圆周运动.这样铁钉在水平线上的取值范围就由相应的两个临界状态决定.,解:设铁钉在位置D时,球至最低点细线所承受的拉力刚好为9mg,并设DE=X1,由几何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径,解以上各式得:,球由C点至D点正下方的过程中,遵守机械能守恒定律,有,球至D点正下方时,由细线拉力和球的重力的合力提供向心力.根据向心力公式得
9、:,再设铁钉在D点时,小球刚好能够绕铁钉通过最高点做完整的圆周运动,并设DE=X2,由几何关系可求得球的运动半径为,解以上各式得:,铁钉在水平线EF上的位置范围是:,球由C至圆周最高点过程中,遵守机械能守恒定律,有:,球至圆周最高时,其向心力由球的重力提供,根据向心力公式得:,（三） “流体”问题,例7、如图所示,一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置,右管口用盖板A密闭一部分气体,左管口开口,两液面高度差为h,U形管中液柱总长为4h,现拿去盖板,液柱开始流动.当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度大小为 .,解:应用“割补”法：,液面相齐时等效于把右侧中h/2的液柱移到左侧管中,其减少的重
10、力势能转变为整个液柱的动能.,根据机械能守恒定律得:,设液体密度为有:,所以:,（四）系统机械能守恒的问题,处理这类问题时,一是要注意应用系统机械能是否守恒的判断方法;再是要灵活选取机械能守恒的表达式.常用的是:,例8、如图所示,两小球mA、mB通过绳绕过固定的半径为R的光滑圆柱,现将A球由静止释放,若A球能到达圆柱体的最高点,求此时的速度大小(mB=2mA).,解:B球下落得高度为,A球上升得高度为2R,由AB根据能量转化守恒定律,EK = -EP,得,所以,例9、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，
11、两球均从静止开始运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、乙两球的质量关系。,分析：与上题相似，只是甲乙的末速度为 ，所以,例9、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 。,解：系统的机械能守恒，EP +EK=0,因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，,如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角=30o，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A、B连接，A的质量为4m，B质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿
12、斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑距离s后，细绳突然断了，求物块B上升的最大距离H,（思考题）如图所示，物体A、B用绳子连接穿过定滑轮，已知mA=2mB, 绳子的质量不计，忽略一切摩擦，此时物体A、B距地面高度均为H，释放A，求当物体A刚到达地面时的速度多大？（设物体B到滑轮的距离大于H）,例与练,如图所示，A、B两球质量分别为4m和5m,其间用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱体的半径为R)两球从水平直径的两端由静止释放已知重力加速度为g，圆周率用表示。当球A到达最高点C时，求： (1)球A的速度大小 (2)球A对圆柱体的压力,【例7】将质量为M和3M的两小球A和
13、B分别拴在一根细绳的两端，绳长为L，开始时B球静置于光滑的水平桌面上，A球刚好跨过桌边且线已张紧，如图所示当A球下落时拉着B球沿桌面滑动，桌面的高为h，且hL若A球着地后停止不动，求：（1）B球刚滑出桌面时的速度大小（2）B球和A球着地点之间的距离,机械能守恒定律的应用,【例4】一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂于桌边，如图所示现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大?,【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链条做功，故链条下滑过程中机械能守恒,设链条总质量为，由于链条均匀，因此对链条所研究部分可认为其重
14、心在它的几何中心，选取桌面为零势能面，则初、末状态的机械能分别为：,初态：,末态：,例10、如图所示，质量分别为4m和m的A和B物体用细绳连接，并跨过装在斜面顶端的无摩擦滑轮上，A放在倾角为30的光滑斜面上，开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升, 设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上升的最大距离H。,解：取A、B及地球为系统：,对B：,且,所以,例11、如图所示，长为2L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB中点A固定一个质量为m的小球A，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求A、B球摆到最低点的速度大小各是多少。,解
15、：选A、B及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，有：,又,所以,例12、如图所示,半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其自由转动,求：,（1）A球转到最低点时的线速度是多少？,（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？,解：(1)该系统在自由转动过程中,只有重力做功,机械能守恒.设A球转到最低点时的线速度为VA,B球的速度为VB,则据机械能守恒定律可得:,据圆周运动的知识可知:VA=2VB,所以,所以,(
16、2)设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是(如所示),则据机械能守恒定律可得:,例13、如图所示,将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面之间放入一个小球,球的下缘离地面高度为H,木块的倾角为,球和木块质量相等,一切接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静止开始运动,求球着地时球和木块的速度.,解：因为球下落的垂直于斜面的分速度与斜面该方向的分速度相等，即,由机械能守恒定律可得,联立方程可得,例14、如图所示,光滑的半圆曲面AB,其半径为R,在B端有一光滑小滑轮,通过滑轮用细绳连着两个物体P、Q,其质量分别为M和m,开始时,P在B处附近,Q悬在空中,现无初速地释放
17、P,P沿半圆曲面滑下,试求P滑至最低点时,P、Q的速度各多大?设绳足够长.,解:因系统内各物体间均无滑动摩擦力,所以系统遵守机械能守恒定律.,将速度VP分解,如图所示,得:,联立两式得,例15、如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长均为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上。Lh，A球刚跨过桌面。若A球、B球下落着地后均不再反弹，则C球离开桌边缘时的速度大小是多少？,解：A球下落带动B、C球运动。A球着地前瞬间，A、B、C三球速率相等，且B、C球均在桌面上。因A球着地后不反弹，故A、B两球间线松弛，B球继续运动并下落，带动小球C，在B球着地前瞬间，B、C两球速率相等。,故本题的物理过程应划分为两个阶段：从A球开始下落到A球着地瞬间；第二个阶段，从A求着地后到B球着地瞬间。,在第一个阶段，选三个球及地球为系统，机械能守恒，则有：,第二个阶段，选B、C两球及地球为系统，机械能守恒，则有：,解得：,
