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1、2 一致收敛函数列与函数项级数的性质,一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.,返回,即,致收敛, 故存在正整数 N, 当 nN 及任意正整数 p,从而,即,下面证明,注意到,只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定,的任意正数即可., 有,时,也有,这就证明了,立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.,上一致收敛, 且,存在, 则有,定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数,列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区,间 I 上一定不一致收敛.,其极限函数,敛, 且每一项都连续,
2、则,上都可积. 于是(3)变为,存在,再根据定积分的性质, 当 时有,这就证明了等式,这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与,积分运算的顺序可以交换.,(其图象如图136所示).,连续函数列, 且对任意,例1 设函数,收敛于 0 的充要条件是 .,限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件.,函数的导数存在且等于g.,由 g 的连续性及微积分学基本定理得,这就证明了等式(4).,由定理条件, 对任一 总有,与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导,运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看下例.,例2 函数列,与,在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收,敛但定理结
3、论成立的例子. 在今后的进一步学习中,(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件,但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能,保证定理结论的成立.,的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质,可根据函数列的相应性质推出.,定理13.12(极限交换定理、连续性定理),(6),定理13.13 (逐项求积定理) 若函数项级数,定理13.14 (逐项求导定理) 若函数项级数,定理 13.13 和 13.14 指出, 在一致收敛条件下, 逐项,求积或求导后求和等于求和后再求积或求导.,注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数,项级数是否满足关系式(2)(4), (6)(8), 更重要的
4、是,根据定理的条件, 即使没有求出极限函数或和函数,也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和,函数的解析性质.,例3 设,有,因此级数,续且可积. 又由,和函数的连续性.,解 首先利用连续性定理(或极限交换定理)建立一个,有定义, 且, 及极限交换定理得, 也发散. 因此这个级数的收,敛域为,上不一致收敛. 这说明不能用连续性定理得,就不连续了? 下面继续讨论.,时, 有,注 上述利用开区间的“内闭”一致收敛来得出和,函数连续性方法是函数项级数中一个典型的解题方,法, 请读者关注.,复习思考题,1. 如何利用一致收敛的性质来判别函数列或函数,项级数不一致收敛? (例4已经给出了一个方法, 其,他请自行总结）,3. 请举出函数项级数的例子, 说明一致收敛只是,可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不,是必要条件。,
