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1、机器人学导论,第6章 操作臂动力学,第六章 操作臂动力学,6.1概述到目前为止，我们只研究了操作臂的运动学。我们已研究了静态位置、静态力和速度；但是从未考虑引起运动所需的力。在本章中，将考虑操作臂的运动学方程由驱动器施加的力矩或施加在操作臂上的外力是操作臂运动。与操作臂动力学有关的两个问题有待解决。第一个问题，已知一个轨迹点 ， 和,期望求出期望的关节力矩矢量。这个运动学公式对操作臂控制问题（第10章）很有用。第二个问题是计算施加在一组关节力矩的情况下关节如何运动。也就是已知一个关节矢量，计算出操作臂运动的 ， 和 。这对操作臂的仿真很有用。,6.2 刚体的加速度,在任一瞬时对刚体的线速度和加
2、速度进行求导，可分别得到线加速度和角加速度。即,同速度一样，当微分的参考坐标系为世界坐标系U时，可用下列符号表示刚体的速度，即：,线加速度,式(5-12)即 描述了坐标系A下的速度矢量 ，当坐标系A的原点与坐标系B的原点重合时，速度矢量可表示为左边描述的是矢量 随时间变化的情况。由于两个坐标系的原点重合，因此可以把式（6-5）改写成如下形式：,对式（6-5）求导，可得到 的加速度在坐标系A中的表达式：对上式第一项和最后一项应用是（6-6），则（6-7）右边成为：整理得,最后，为了将结论推广到两个坐标系原点不重合的一般情况，我们附加一个表示坐标系B原点线加速度的项，最终得到一般表达式：值得指出的
3、是当 为常量时，即在这种情况下，式（6-10）简化为：,角加速度,假设坐标系B以角速度 相对于坐标系A转动，同时坐标系C以角速度 相对于坐标系B转动。为求 ，在坐标系A中进行矢量相加：对上式求导，得,将式（6-6）代入上式右侧最后一项中，得上式用于计算操作臂连杆的角加速度。,6.3 质量分布,在单自由度系统中，常常要考虑刚体的质量。对于定轴转动的情况，经常用到惯量矩这个概念。在一个刚体绕任意轴作旋转运动时，我们需要一种能够表征刚体质量分布的方法。在这里我们引入惯性张量，它可以被看作是对一个物体惯量的广义度量。,图6-1描述物体质量分布的惯性张量,现在我们定义一组参量，给出刚体质量在参考坐标系中
4、分布的信息。图6-1表示一个刚体，坐标系建立在刚体上。惯性张量可以在任何坐标系中定义，但一般固连在刚体上的坐标系中定义。,坐标系中的惯性张量可用33矩阵表示如下,式（6-16）,矩阵中各元素为,式中刚体由单元体dv组成，单元密度。每个单元的位置由矢量 确定，如图所示,称为惯量矩。其余三个交叉项称为惯量积。对于一个刚体来说，这六个相互独立的参量取决于坐标系的位姿。当任意选择坐标系的方位时，可能会使刚体的惯量积为0.此时参考系的轴被称为主轴，而相应的惯量矩被称为主惯量矩。可以看出惯性张量是坐标系位姿的函数。众所周知的平行移轴定理就是在参考坐标系平移是惯性张量如何变化的计算方法。平行移轴定理描述了一
5、个以刚体质心为原点的坐标系平移到另一个坐标系是惯性张量的变换关系。,假设C是以刚体质心为原点的坐标系，A为任意平移后的坐标系，则平行移轴定理可表示为式中 表示刚体质心在坐标系A中的位置。其余的惯量矩和惯量积都可以通过式（6-25）交换x,y和z的顺序计算而得。平行移轴定理有可以表示成为矢量矩阵形式,6.4 牛顿方程和欧拉方程,图6-3作用于刚体质心的力F引起刚体加速度,牛顿方程,欧拉方程图6-4所示为一个旋转刚体，其角速度和角加速度分别为 。此时由欧拉方程可得作用在刚体上的力矩N引起刚体的转动为式中 是刚体在坐标系C中的惯性张量。刚体的质心在坐标系C的原点上。,图6-4,6.5 牛顿欧拉迭代动
6、力学方程,现在讨论对应于操作臂给定运动轨迹的力矩计算问题。假设已知关节的位置、速度和加速度，结合机器人运动学和质量分布方面的知识，可以计算出驱动关节运动所需的力矩。,计算速度和加速度的向外迭代法,为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角加速度。首先对连杆1进行计算，由第五章知识由式（6-15）可得连杆之间角加速度变换的方程：,当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为应用是（6-12）可以得到每个连杆坐标系原点的线加速度：当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为同理，应用式（6-12）可以得到每个连杆质心的线加速度：,假定坐标系 固连于连杆i上，坐
7、标系原点位于连杆质心，且各坐标轴方位与原连杆坐标系i的方位相同。由于式（6-36）与关节的运动无关，因此无论是旋转关节还是移动关节，式子对于第i个连杆都是有效的。,作用在连杆上的力和力矩,对单个连杆的力平衡，包括惯性力,最后得到,应用这些方程对连杆依次求解，从连杆n向内迭代一直到机器人基座。在静力学中，可通过计算一个连杆 施加于相邻连杆的力矩在Z方向的分量来求得关节力矩。,移动关节,牛顿-欧拉迭代动力学算法,由关节运动计算关节力矩的完整算法由两部分组成。第一部分是对每个连杆应用牛顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计算连杆的速度和加速度。第二部分是从连杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作用
8、力和力矩即关节驱动力矩。对于转动关节来说，这个算法归纳如下：,计及重力的动力学算法令 就可以很简单地将作用在连杆上的重力因素包括到动力学方程中去，其中G与重力矢量大小相等，方向相反。,6.6 迭代形式与封闭形式的动力学方程,已知关节位置、速度、加速度，应用方程（6-45）（6-53）就可以计算所需的关节力矩。这些公式主要应用于两个方面：进行数值计算或作为一种分析算法用于符号方程的推导。然而，我们经常需要对方程的结构进行研究。这是需要给出封闭形式的动力学方程，应用牛顿-欧拉方程递推算法对 进行符号推导即可得到这些方程。,6.7 封闭形式运动学方程应用举例,这里我们计算图6-6所示平面二连杆操作臂
9、的封闭形式动力学方程。假设操作臂的质量分布：每个连杆的质量都集中在连杆的末端，设其质量分别为,图6-6,首先，确定牛顿-欧拉迭代公式中各参量的值。每个连杆质心的位置矢量由于假设为集中质量，因此每个连杆质心的惯性张量为零矩阵：,末端执行器没有作用力，因而有,机器人基座不旋转，因此有,包含重力因素，有,相邻连杆坐标系之间的相对转动由下式给出,应用方程（6-45）（6-53）。对连杆1用向外迭代法求解如下：,（6-54）,连杆2用向外迭代法求解如下,对连杆2用向内迭代法求解如下：,式6-56,对连杆1用向内迭代法求解如下,式（6-58）将驱动力矩表示为关于关节位置、速度和加速度的函数。,6.8 操作
10、臂动力学方程的结构,状态空间方程用牛顿-欧拉方程对操作臂进行分析时，动力学方程可以写成如下形式式中 为操作臂的nn质量矩阵， 是n1的离心力和哥氏力矢量， 是重力矢量。上式之所以成为状态空间方程，是因为式中 取决于位置和速度。 和 中的元素都是关于操作臂所有关节位置的复杂函数，而 中的元素都是关于 的复杂函数。,可将操作臂动力学方程中不同类型的项划分为质量矩阵、离心力和哥氏力矢量及重力矢量。例6.3 求6.7节中操作臂的由式（6-59）,形位空间方程,将动力学方程中的速度项写成另外一种形式如下式中 阶的哥氏力系数矩阵， 是 阶的关节速度积矢量，即 是nn阶离心力系数矩阵，而 是n1阶矢量，即,式6-63称为形位空间方程，因为它的系数矩阵仅是操作臂位置的函数。在应用中（例如计算机控制操作臂时），重要的是要求动力学方程必须随着操作臂的运动不断更新。,例6.4 求6.7节中操作臂的 。对于图示简单的二连杆操作臂，有,The end,
