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1、刚体：特殊质点组任意两点间的距离保持不变,理想化模型：任何物体在外力作用下(运动)都或多或少发 生一定的形变,实际意义：固态物体，在受力不特别大时，形变可略,关于刚体运动的讨论是力学问题的一个重要方面,5.1 刚体的运动,（一）刚体的运动及其自由度,N个质点组成的质点组，确定所有质点的位置需要3N个坐标,刚体：构成许多约束条件，独立坐标数相应减少,自由度：确定研究对象位置所需的独立坐标数,刚体的自由度：,三点：9个坐标,三个约束：AB、AC、BC间距不变,自由度：9-3=6,若刚体运动受到某些约束，则自由度更少。,刚体运动的几种形式及其自由度：,1. 平动,定义：任意两点连线方向在运动过 程中
2、保持平行/不变,特点：各点的运动情况相同，任意点的 运动可代表刚体整体的运动,自由度：3,注意：平动不一定是直线运动,2. 定轴转动,定义：绕固定轴线的转动,刚体上如有两点固定不动，则必定是定轴转动,特点：转轴上各点固定不动，其它点作圆周运动，圆心在 转轴上,自由度：1 绕轴转动的角度,3. 平面平行运动,定义：刚体内任一点都平行于一固定平面而运动,特点：刚体中垂直于此固定平面的直线上各点，运动状态 相同；任何一个平行于此平面的平面或刚体截面的 运动，可用来代表刚体的运动。,自由度：3 刚体的自由度6-约束条件数3,刚体上三点到固定平面的距离不变,4. 定点转动,刚体上有一点固定不动；自由度：
3、3 6-定点坐标数3,5. 一般运动,刚体运动不受任何约束，自由度为6,可看作平动和转动的合成：,基点平动+绕基点的转动基点可任选,上述14均为一般运动的特例,（二）欧拉角,固定坐标系,固着在刚体上，随刚体一起转动 转动刚体的抽象代表,交线ON,刚体转动的描述：,z轴的确定：2个独立变量,刚体绕z轴的转动：1个独立变量,对某些具体的刚体转动，有时可以灵活地选定角度参量，不一定拘泥于严格定义的欧拉角。如：圆锥体的纯滚动 ,与欧拉角定义相同，但在此为固定值,与欧拉角定义不同 Os与ON不同，Os并非 的交线，而是与 相交的圆锥母线。,与欧拉角定义不同；表示圆锥绕z轴转过的角度(在此意义上与欧拉角相
4、同),仍用来确定z轴的方位；,（三）角位移和角速度,在此对曾多次应用的角速度给出严格定义和详细讨论,角位移：刚体绕某一轴线转过一定角度，取转轴方向作为转过的角度方向，这种带方向的角度改变量叫角位移。,注意：带有方向的量不一定都是矢量，矢量应遵从交换率和平行四边形/三角形法则。,相继两次有限大小角位移的合成不满足交换率。,相继两次微小转动/两微小角位移的合成满足交换率 ,刚体绕en轴转过一微小角度,刚体上的P点：,考察刚体相继绕通过O点的轴进行两次微小转动的情形：,忽略二阶小量：,若两次转动调换次序：,即：相继两次微小转动满足矢量合成的对易规则，从而证明 了微小角位移是矢量。,两线位移矢量是可以
5、交换的：,有限/微小角位移的这种区别的表示：,角速度：,方向沿t时刻的瞬时转轴的方向。对定轴转动，转轴是固定的；对定点转动，转轴通过固定点但方向改变，即不同时刻绕不同瞬时轴转动。,以圆锥体在水平面的滚动为例：,圆锥体的滚动分为两部分：绕几何轴Oz的自转及随Oz 绕 轴的进动 ,OS与地面接触，其上各点速度为零，必是瞬时转轴，故,（四）角速度的欧拉角表示,角速度与三个欧拉角间的一般表示关系,固定坐标系,固着在刚体上,刚体以ON为轴转动,刚体以 为轴转动,刚体以Oz 轴转动,以后会看到，即使在固定参考系中处理刚体动力学问题，许多力学量采用活动坐标系表达更为方便。,为此，将角速度转变为在活动坐标系中
6、的表示：,（五）刚体内任意点的速度和加速度,P点：刚体内的任意点,A点：刚体内的任意点,作为基点,(5.7),说明：,(1) 基点A可任选(在刚体上或与刚体固着)，基点A不同，,不同，但速度 相同。,(2) 为刚体转动的角速度，与基点的选取无关。证明,在刚体上另取一不同的基点A，刚体绕A以角速度转动，则,而,即 ：刚体转动的角速度 与基点的选取无关。,求导得加速度 ：,讨论 ：,(1) 平动,可用A点的运动代表刚体整体的运动。,(2) 定轴转动,取基点A位于转轴上(作为坐标原点)，则,(3) 平面平行运动, 可用一个平面的运动代表,(4) 定点运动,（六）瞬时转动中心,一般，不同瞬间刚体上各点
7、具有不同的速度和加速度。能否在刚体上或与刚体作刚性联结的地方，找到速度为零的点？,设有某点s速度为零，则：,说明 ：,(1) 对作一般三维转动的刚体，通常 与 并不垂直，不满足 此条件，除非基点A是定点，此时为定点转动。,(2) 对平面平行运动的情形， ，满足这一条件，因此， 作平面平行运动的刚体，总可以找到速度为零的点s:,(1) 在平面平行运动中，刚体上(或与刚体固连的)速度为零的点，称为瞬时转动中心，简称瞬心。,(2) 瞬心并非固定点：,(3) 瞬心可由几何方法求得：若已知刚体上任意两点的速度方向，则通过这两点作速度的垂线，两垂线的交点即为瞬心。,说明 ：,例5.1 椭圆规尺AB的两端分
8、别沿相互垂直的直线槽Ox及Oy滑动，已知B端以匀速u运动，求：(i) 椭圆规尺上M点的速度和加速度； (ii) 规尺的瞬心S点的位置。,椭圆规尺作平面平行运动，取B点为基点，有：,(i) M点的速度和加速度,？由B点的已知速度求出：,解：,(1),(1),(ii) 求瞬心S的位置,几何方法：,评注：,本题与习题1.2(要求用质点运动学方法求解)基本相同。无论用质点运动学方法、非惯性系方法还是本章介绍的刚体运动学方法，速度和加速度的求法都是基于同样的概念，即分别为位置矢量的一阶和二阶导数，不同的只是对位置矢量作不同的分解处理：,对此，学习时应该融会贯通。,质点运动学方法：,非惯性系方法：,活动参
9、考系坐标原点的位矢,刚体运动学方法:,基点的位矢,质点组运动学方法：,例5.2 一圆盘形陀螺,半径为r，绕轴线OC以恒定角速度1转动，轴线则以匀角速度2绕竖直轴转动。已知陀螺高为h，与铅直线间的倾角为，求圆盘边缘最低点B处的速度。,选取活动坐标系Cxyz如图,解：,Cxyz部分地跟随陀螺转动；,xz平面与 共面：同在铅直面内。,陀螺绕O点转动的角速度为：,B点的位矢为：,法(i) 以定点O为基点,活动坐标系的选取；基点的选取；角速度。,法(ii) 以C点为基点,为刚体转动的角速度，与基点的选取无关。,评注：,(1) 作为运算的工具，坐标系可以任意选择，本题采用部分地 跟随刚体运动的活动坐标系。
10、,(2) B点的速度虽然用活动坐标系表示，但并非相对于活动坐标系的速度，而是相对于固定的惯性参考系的速度。,(3) 基点的选择和角速度的确定。,作业,P163 (1, 3), 4,5.1 提示,1 转动角速度的正负,2 角速度大小的求解,若以切点为基点表示A点的速度，要注意：切点的速度是否为零？,3 用几何方法画出瞬心位置,5.3 提示：,瞬心S位置的初步判断 几何法、解析法都可断定， S一定在M、A连线上。 设S在O上或下某一位置，对解析结果无影响。,2 M点的加速度是否为零？为什么？,3 M点加速度的求解：基点如何选取？,故用最后的公式求解最方便。,转动，向心加速度！,5.4 提示,(2)
11、 圆锥的角速度,(3) 圆锥底面上最高点的速度,(1) 图和坐标系,(4) 圆锥的角加速度,（二）刚体的运动及其自由度,（三）欧拉角,复习,（一）变质量物体的运动,（一）刚体的运动及其自由度,（二）欧拉角,复习,（三）角位移和角速度,（四）角速度的欧拉角表示,轴向,（一）刚体的运动及其自由度,（二）欧拉角,复习,（三）角位移和角速度,（四）角速度的欧拉角表示,（五）刚体内任意点的速度和加速度,轴向,角速度 与基点的选取无关。,角速度的欧拉角表示: ；选定原则,瞬心：平面平行运动,几何法：,解析法：,基点选取：刚体转动的角速度 与基点的选取无关。,小结：,角位移：,剖面图； 部分跟随刚体运动的活动坐标系。,常用公式：,
