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1、第七节立体几何中的向量方法,1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_或_，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量,平行,重合,2空间位置关系的向量表示,3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin _(3)求二面角的大小若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是_的夹角(如图771)
2、,|cosa，n|,设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是_(如图771),二面角的平面角的大小,1怎样求平面的法向量？,2如何确定一个二面角的两个半平面的法向量夹角与这个二面角的平面角的大小关系？【提示】可从两个方面判断：一是观察图形，确定二面角的平面角是锐角还是钝角；二是根据两个半平面的法向量的方向来确定,1(人教A版教材习题改编)设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量若，则t()A3B4C5D6【解析】，则uv262(4)4t0，t5.【答案】C,【答案】A,3已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)
3、，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D90,【答案】C,【答案】A,如图774所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.,【尝试解答】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，,1恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键2证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向
4、量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算3证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明,如图775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.,【证明】如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4),(2012湖
5、南高考)如图776所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积,【思路点拨】(1)以点A为坐标原点建系，用向量法证明CDAE，CDAP.(2)先确定平面PAE和平面ABCD的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求AP.【尝试解答】如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0
6、)，,(2012山东高考)在如图778所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值,【思路点拨】(1)先证ADBD，再根据AEBD可证明结论成立(2)根据ADBD知ACBC，以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法求解【尝试解答】证明 (1)因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.,(2)由(1)知ADBD，所以A
7、CBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设CB1，,1利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)2利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角,【解】(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.,(2012北
8、京高考)如图7710(1)，在RtABC中，C90，BC3，AC6.D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图(2),(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【思路点拨】(1)通过证明DE平面A1CD来证明DEA1C.(2)以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面A1BE的法向量，用向量法求解(3)假设点P存在，设出其坐标，然后求出平面A1DP的法向量，利用两个平面的法向量垂直求解,【尝试解答】(1)ACBC
9、，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，又A1DCDD，DE平面A1DC.DEA1C.又A1CCD，CDDED，A1C平面BCDE.,立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在,如图7711，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二
10、面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由,用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想,利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点,从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年必考内容，重点考查向量方法的应用，在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量的夹角与二
11、面角的平面角相等还是互补，是学生的易错易误点，解答此类题目时应特别注意答题的规范化,(1)证明：AA1BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值【规范解答】(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1B1C1.因为平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.,(2)判断法向量的夹角与二面角的大小关系，一般有两种方法：一是观察法，借助几何体观察二面角是锐二面角还是钝二面角；二是判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则向量
12、夹角与二面角相等,1(2012广东高考)如图7713所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值,【解】(1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可证得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知BD平面PAC，,2(2012福建高考)如图7714，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长,
