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1、【课标要求】理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求 二面角【核心扫描】1向量法求二面角(重点)2法向量方向的判定及向量的夹角与二面角的关系(难点),3.2.4 二面角及其度量,自学导引,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做_从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做_；这条直线叫做_，每个半平面叫做_棱为l两个面分别为，的二面角，记作l.如图所示，A，B，二面角也可记作AlB，也可记作AOOB.,1二面角的有关概念,半平面,二面角,二面角的棱,二面角的面,说明：二面角的图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形符号l的含义是棱为l，两个面分别为，的二面角两个平面相交
2、，构成四个二面角二面角的平面角如图所示，在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做_,2,二面角,l的平面角,说明：这个平面角与点O在l上的位置无关，因为，在l上异于O的一点O，OAl，OBl，则AOB与AOB都是平面角，它们的对应边平行且方向相同，因此AOBAOB，这两个角都是二面角的平面角(1)二面角的范围为0，(2)二面角的向量求法：,设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就等于二面角的平面角，如图所示,试一试：若二面角l的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2的关系提示相
3、等或互补直二面角平面角是直角的二面角叫做_，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面,3,直二面角,二面角的平面角与两法向量的关系,名师点睛,1,二面角的求法(1)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解(2)向量法：设二面角 l的两个半平面的法向量分别为n1，n2.当平面、的法向量与、的关系如图所示时，二面角 l 的平面角即为两法向量n1，n2的夹角n1，n2,2,当平面、的法向量与、的关系如图所示时，二面角 l 的平面角与两法向量n1，n2的夹角n1，n2互补,题型一几何法求二面角,【例1】,自二面角l的棱上一点A在平面内引一条射线AC，它与棱l成45角，和平面成30角，求二面
4、角l的大小思路探索 当二面角的平面角容易作出或在图中存在时，常用几何法解三角形，求出其大小,解如图所示，在射线AC上取一点C，作CD平面，在内作DBAB，垂足为B，连结BC.由三垂线定理知BCAB，则CBD为二面角l的平面角,规律方法 利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角平面角的大小,如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVBC的所成角的余弦值解取VB的中点为E，连接AE，CE.VAABBCVC，AEVB.CEVB.AEC是二面角AVBC的平面角设AB
5、a，连接AC，在AEC中，,【变式1】,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D、E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD1，ADDE，求截面ADE与底面ABC所成角余弦值思路探索 处理无棱二面角的方法有三种：一是找棱作角；二是运用法向量求解，三是运用射影面积求解,题型二无棱二面角的求法,【例2】,如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小解如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)、D(0，1，0)、C(1，1，0)、P(0，0，1),【变式2】,(12分)如图所示，正三棱柱A
6、BCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值,题型三向量法求二面角,【例3】,规范解答如图所示，取BC中点O，连结AO.因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.,【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性,【变式3】,探索性、存在性问题是条件不完备和结论不确定的问题，这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较高立体几何中的探索性、存在性问题，是比较有思维层次的，对能力要求非常高利用向量的方法，可以将这类问题由立体几何问题转化成为代数的方程式或不等式的解的问题，降低了问题的难度,方法技巧探索性、存在性问题的解题技巧,思路分析 可先建系，写出直线的方向向量与平面的法向量，再用待定系数法确定点E.解分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，,方法点评 存在性问题的处理思路，一般是先假设存在，根据题目条件去求解，空间向量的应用对已知平行的条件提供了更广阔的适用空间,单击此处进入 活页规范训练,
